2007/2008 Учебный год. Вариант 4.

Задача 1. Найти жорданову форму матрицы .

Решение. Найдем характеристический многочлен матрицы .

При у матрицы ровно 3 различных собственных числа: , , . При получаем собственное число 0 кратности 1 и собственное число 1,5 кратности 2. Вычислим ранг матрицы

Значит, только одна жорданова клетка с собственным числом 1,5.

Рассмотрим теперь . В этом случае получаем собственное число 0 кратности 2 и собственное число 3 кратности 1. Заметим, что в этом случае , поэтому 2 жордановых клетки с собственным числом 0. Итак, ответ:

Задача 2. Найдите расстояние между плоскостями , в четырехмерном аффинном пространстве, если , , , , .

Решение. Задача аналогична задаче 2 из варианта 1, поэтому подробно объяснять решение не будем.

Найдем базис .

Заметим, что совпадает с из задачи первого варианта, так же совпадает. Т.е. решение далее совпадает. Ответ: расстояние между плоскостями

2007/2008 Учебный год. Вариант 5.

Задача 1. Найдите жорданову форму матрицы

Решение. Вычислим характеристический многочлен матрицы .

.

Заметим, что ; . Следовательно,

Задача 2. Найдите расстояние между плоскостями , в четырехмерном аффинном пространстве, если , , , , , .

Решение. Задача аналогична задаче 2 из варианта 1, поэтому подробно объяснять решение не будем.

Найдем базис .

Заметим, что совпадает с из задачи первого варианта, так же совпадает. Т.е. решение далее совпадает. Ответ: расстояние между плоскостями

2008/2009 Учебный год. Вариант II-1

Задача 5. Пусть даны многочлены такие, что . Доказать, что если , то .

Решение. Рассмотрим старший коэффициент и старший коэффициент . Если они равны, обозначим , . Если же они не равны, то наоборот , . Заметим, что при введенных обозначениях, при подсчете коэффициента при в многочлене он сократиться не может и получается не нулевым. Т.е. . . Причем степень равна . Если , то у него есть старший ненулевой член и тогда степень многочлена равна . Но она по условию меньше . Противоречие. Значит, многочлен нулевой. А это означает, что либо , либо .

Задача 6. Показать, что матрицы , , , не образуют базис пространства - матриц . Найти размерность порождаемого ими подпространства и пересечение с подпространством верхнетреугольных матриц .

Решение. Зафиксируем в качестве стандартного базиса базис из матричных единиц . Разложим матрицы , , , по этому базису и найдем методом Гаусса базис их линейной оболочки.

Таким образом мы установили, что (и параллельно установили, что , , , не является базисом всего пространства) и нашли базис : .

Заметим, что в входят не только верхнетреугольные матрицы. Значит, . Значит, . Заметим, что матрицы и входят в и линейно независимы. Значит, они и являются базисом . Таким образом, .

2008/2009 Учебный год. Вариант II-2

Задача 5. Даны два базиса векторного пространства

:

, , ;

, , .

Найти матрицу перехода от базиса к базису , а также подсчитайте координаты вектора в базисе .

Решение. Рассмотрим еще базис . Легко написать матрицу перехода от к : и матрицу перехода от базиса к базису : . Тогда матрица перехода от базиса к базису будет . И матрица перехода от базиса к базису получится . Чтобы найти координаты вектора в базисе надо вектор-столбец (координаты вектора в базисе ) умножить на матрицу (слева).

Значит, . Тогда искомая матрица:

Задача 6. Пусть – матрица третьего порядка, все собственные значения которой положительны. Доказать, что .

Решение. Пусть матрица – жорданова форма матрицы , а – жорданова форма матрицы . Тогда , . Следовательно, матрицы и подобны и у них одинаковый набор собственных чисел. Матрица верхнетреугольная и значит, тоже верхнетреугольная, причем на диагонали стоят числа, обратные соответствующим диагональным числам матрицы .

Следовательно, если на диагонали у матрицы стоят числа то на диагонали матрицы стоят числа , _, . (Причем все эти числа положительны). Поскольку следы подобных матриц совпадают, получаем, что

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для трех чисел, получаем: . Перемножая эти два положительные неравенства и получаем требуемое.