2006/2007 Учебный год. Вариант I-3.

Задача 1. Найти наибольший общий делитель многочленов и , .

Решение. Без ограничения общности можно считать, что . .

Теперь умозрительно сделаем следующее. В левой колонке будем проводить модифицированный алгоритм Евклида для многочленов и . 1 шаг будет состоять в переходе как выше. В конце-концов (т.к. суммарная степень многочленов убывает, а НОД сохраняется) мы придем к паре: , многочлен и будет искомым НОДом.

В правой колонке будем проводить алгоритм Евклида для чисел , . За один шаг переходим от пары , где к паре . В конце этого алгоритма мы получим .

Заметим, что на одинаковом шаге если в правой колонке стоит , то в левой стоит . Значит, на последнем шаге получим как раз (и ), a .

Ответ. .

Задача 2. Пусть  квадратная матрица -го порядка. Доказать, что если для некоторого , тогда .

Решение. Вероятнее всего, в задаче подразумевается, что матрица рассматривается над полем комплексных чисел (или над полем вещественных чисел) и можно воспользоваться теоремой о жордановой форме. Но мы в решении даже не будем на это опираться и рассмотрим матрицу над произвольным полем .

Если , то все очевидно . Предположим также, что при . Рассмотрим действие матрицы на векторном пространстве . Понятно, что , поскольку матрица – нулевая.

Понятно, что

.

Потому что , т.е. любой вектор из содержится в . Заметим, что все подпространство состоит из тех векторов, которые зануляются за раз действием матрицей  . Таким образом, состоит из (т.е. тех векторов, которые зануляются и за меньшее количество шагов) и тех векторов, которые зануляются ровно за раз.

Заметим, что если есть вектора, которые зануляются ровно за раз, обязательно есть вектора, которые зануляются и ровно за раз. Это вектора, которые зануляются за раз, на которые подействовали матрицей всего 1 раз.

Мы знаем, что не может быть равно . Потому что иначе весь ряд был бы равен и никогда бы не занулился. Значит, существуют векторы, которые зануляются ровно за шагов (это вектора ). Следовательно, существуют векторы, которые зануляются ровно за , и т.д. шагов. Следовательно, на каждом шаге включение строгое (равенство и достигаться не может). Размерность подпространства всегда меньше размерности пространства (если подпространство не равно всему пространству). Значит, . Отсюда следует, что . Что и требовалось доказать.

В предположении, что матрица рассматривается над полем действительных (или комплексных) чисел все проще. Матрица зануляется, значит она нильпотентная. Значит, ее жорданова форма состоит из жордановых клеток с нулем на диагонали. Самая максимальная жорданова клетка не может превышать размера матрицы. А нильпотентная матрица зануляется, если ее возвести в степень, равную размеру самой большой жордановой клетки.

2006/2007 Учебный год. Вариант I-4.

Задача 1. Найти жорданову форму матрицы .

Решение. Вычисляем собственные числа матрицы как корни характеристического многочлена:

Таким образом, собственные числа и . Причем, с числом 3 – одна жорданова клетка размера . С числом может быть либо 2 клетки , либо 1 клетка . Чтобы различить эти случаи, вычислим .

Поскольку (здесь – жорданова форма матрицы , а ранги подобных матриц совпадают). Следовательно,

Задача 2. Доказать, что если оператор векторного пространства имеет в некотором базисе диагональную матрицу, то его ограничение на любое инвариантное подпространство тоже имеет диагональную матрицу в некотором базисе .

Решение. – инвариантное подпространство пространства . Значит, можно рассматривать оператор , действующий только на . В частности, можно найти жорданову форму оператора . Предположим, что не все жордановы клетки размером , есть и большие. Т.е. существует число и вектора из такие что ; . (Вектора и можно выбрать из жорданова базиса оператора в пространстве ).

Теперь снова рассмотрим оператор в пространстве . Поскольку , - собственное число этого оператора. Причем вектор – собственный вектор оператора , а вектор – из корневого подпространства, соответствующего собственному числу . Но мы знаем, что жорданова форма оператора диагональна и следовательно все корневые пространства глубины 1, т.е. в корневых пространствах только собственные вектора, а векторов высоты 2 быть не может. Противоречие.