12. Уравнение Бернулли и непрерывности, их применение в технических устройствах.

« Чем выше скорость потока идеальной жидкости, тем ниже ее давление.» Объединив законы механики Ньютона с законом сохранения энергии (см. Первое начало термодинамики) и условием неразрывности жидкости, Даниил Бернулли смог вывести уравнение, согласно которому давление со стороны текучей среды падает с увеличением скорости потока этой среды (понятие «текучая среда» включает жидкость или газ). В случае с самолетом воздух обтекает крыло самолета снизу медленне, чем сверху. И благодаря этому эффекту обратной зависимости давления от скорости давление воздуха снизу, направленное вверх, оказывается больше давления сверху, напрвленного вниз. В результате, по мере набора самолетом скорости, возрастает направленная вверх разность давлений, и на крылья самолета действует нарастающая по мере разгона подъемная сила. Как только она начинает превышать силу гравитационного притяжения самолета к земле, самолет в буквальном смысле взмывает в небо. Эта же сила удерживает самолет в горизонтальном полете: на крейсерской скорости и высоте подъемная сила уравновешивает силу тяжести. Это уравнение и есть уравнение Бернулли. Это уравнение является следствием закона сохранения энергии для установившегося течения идеальной жидкости (p - статическое давление, p*(v*v)/2 - динамическое давление, pgh - гидростатическое давление). Динамическое давление связано с движением жидкости и проявляется в том случае, если жидкость при встрече с препятствием теряет скорость (v ->0). Классический вид уравнения непрерывности выглядит так:   ∂ρ/∂t + div (ρv) = 0   ( 2 ) или     div (ρv) = − ∂ρ/∂t  .  ( 3 ) где ρ = dQ/dV − объемная плотность жидкости (текучей среды); v − скорость потока среды в данной точке. Анализ размерностей уравнения (3) показывает, что в обеих частях уравнения размерность объемной плотности ρ одинакова, ибо применение дивергенции равносильно внесению размерности длины в минус первой степени в формулу размерности. Поэтому установить размерность ρ по уравнению (2) нельзя. Следовательно, в общем случае невозможно понять, что скрывается под величиной Q в уравнении для объемной плотности среды . Закон Бернулли лежит в основе принципа действия многих технических устройств и приборов: водоструйного насоса, пульверизатора, форсунки карбюратора. Закон Бернулли позволяет объяснить возникновение подъемной силы крыла самолета.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости.Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли. Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений. Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает.

П ользуясь уравнением Бернулли, найдем скорость вытекания жидкости из отверстия в стенке или в дне сосуда. Пусть уровень свободной поверхности жидкости по отношению ко дну сосуда находится на высоте , а на высоте над дном сосуда (рис. 8.10) имеется отверстие. 2 h