Практична робота № 5, 6 Тема: Розв’язання системи лінійних та нелінійних рівнянь.

Мета роботи: Освоїти матричний метод розв’язання системи лінійних рівнянь і засобу його реалізації в програмі Mathcad.

0. Теоретичні відомості.

Постановка завдання 1:

Дана система n лінійних рівнянь з n невідомими.

( 1 )

Знайти розв’язок системи, тобто таку сукупність х1, х2 . . хn, які при підстановці в дану систему обертають всі рівняння системи в тотожність. Систему (1) можна записати в матричній формі AX=B

де

A – матриця коефіцієнтів системи при невідомих;

B – вектор стовпець вільних членів;

X – вектор стовпець невідомих системи.

Вектор рішення можна отримати з очевидного виразу X=A^-1  B

Приклад вирішення системи в MathCad

Варіанти завдань №1.

Вирішити систему лінійних рівнянь матричним методом (з використанням оберненої матриці) і зробити перевірку розв’язку.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Тема : Рішення нелінійних рівнянь у програмі Mathcad.

Мета роботи: Освоїти спосіб реалізації розв’язання нелінійних рівнянь в середовищі MathCAD.

Зміст завдання:

1. Провести графічне відділення коренів нелінійного рівняння та знайти їх «грубе» наближене значення.

2. Довести знайдений графічно корінь до заданого ступеня точності =0.0001.

Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f(x)= 0.

Знаходження наближеного значення дійсного кореня рівняння кладається з двох етапів :

1 етап – відділення коренів – виділення відрізка, що належить області існування функції f(x) , на якому розташований один і тільки один корінь.

Для відділення коренів будують графік функції f(x). Абсциси точок перетину графіка функції y=f(x) з віссю ОХ і є наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.

2 етап – уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю  .

Порядок дій: TOL :=0.0001	Пояснення: TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD. Описуємо функцію f(x), як функцію користувача.
x:= -1	Початкова умова, знайдена із графіка.
x:= root(f(x), x) x= - 1.2361	Застосування функції root для уточнення кореня. Вивід значенння уточненого кореня х. В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність  потребує 4 знаки, необхідно командою FormatResult… в вікні Result Format задати необхідне число знаків: Отже корінь рівняння х= -1,236.

Варіанти завдань №2.

№ варіанта	Нелінійне рівняння	№ варіанта	Нелінійне рівняння
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16	lnx – 1/x = 0
7		17	xlgx – 14 = 0
8		18	x2 = lg(x +1)
9		19	lnx = 4 – x2
10		20	2x + x – 4 = 0

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь.

Мета роботи: Освоїти спосіб реалізації розв’язання системи нелінійних рівнянь в середовищі Mathcad.

Зміст завдання:

1. Графічним методом знайте грубе наближення розв’язку системи двох нелінійних рівнянь.

2. Уточнити знайдене наближене значення розв’язу до заданого ступеня точності ..

Теоретичні відомості.

Постановка завдання:

Дана система двох рівнянь з двома невідомими

, де F1 і F2 нелінійні функції.

Потрібно знайти дійсні корені ( значення х0 і у0 ), які перетворюють обидва рівняння системи на тотожність) з потрібним ступенем точності . Для вирішення системи в Mathcad необхідно знати початкові ( наближені значення х0 і у0 )

Для знаходження початкових значень х0 і у0 поступають таким чином :

• Приводять систему до вигляду - еквівалентна система;

• Будують графіки функцій у1 і у2, по яких можна визначити початкові ( наближені ) значення невідомих як точки перетину цих графіків.

При уточненні коренів із заданою точністю (у системі MathCad) використовується спеціальний обчислювальний блок, що має наступну структуру:

• Початкові умови (змінним х і у необхідно перед блоком присвоїти наближені значення, знайдені з графіка);

• Директива Given – початок розв’язувального блоку;

• Рівняння;

• Функція Find – закриває розв’язувальний блок.

• Початкові умови визначають початкові значення пошукових змінних. Вони задаються звичайним присвоєнням змінним значень (х і у ).

• Рівняння задаються із застосуванням жирного знаку рівності = (між лівою і правою частиною кожного рівняння (знаходиться на панелі логічних знаків

,

яка визивається кнопкою математичної панелі.

• Обмежувальні умови задаються у вигляді нерівностей або рівності, яка повинна задовольнятися при вирішенні системи рівнянь.

• Закриває блок функція:

Find ( х, у ), яка повертає значення х і у з заданою точністю.

Приклад

Вирішити систему рівнянь хy2-1=0 з точністю y+eх =0 (=0,0001)
1.Перетворимо систему до вигляду	2.Описуємо власні функції:
3. Будуємо графіки функцій	4. Знаходимонаближені значення: х= -1.5 у= 0.5
Уточнюємо корінь з точністю =0,0001
Розв’язок рівняння: x=-1,5316; у = 0,4263