Задание 3.4

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

где y_jt – потребление; х_jt⁽¹⁾ – заработная плата; х_jt⁽²⁾ – дивиденды домохозяйства j в период t.

Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии ₁ и ₂ должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении y_jt, а есть только совокупное потребление всех k_t домохозяйств, т. е.

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели .

2. Показать, что это уравнение является моделью с чистой гетероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки известная с точностью до ².

3. Определить оценки параметров ₁ и ₂.

Задание 3.5

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

где y_jt – потребление домохозяйства j в период t; x_t – индекс цен в период t; w_jt – число членов и z_jt – доход домохозяйства j в период t.

Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии ₁ , ₂, ₃ и ₄ должны оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели  на основе всех имеющихся данных.

2. Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3. Определить вектор оценок параметров .

Задание 3.6

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t =₀+ ₁ х_t +_t (t=1,...,Т)

имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

хt	5,5	8,5	20,1	24,5	17,0	22,0	19,0	16,0	5,0	13,4
yt	4,5	10,0	18,5	20,0	18,5	25,0	8,5	13,0	7,4	15,6
хt	3,0	6,1	22,2	20,1	8,0	12,0	14,0	19,5	18,0	15,1
yt	5,5	5,2	18,5	18,0	8,0	9,8	12,0	14,8	15,2	12,0

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.

Требуется:

1. Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т₁=5, для Т₂=10 и для Т₃=15 наблюдений при уровне значимости =0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

2. Для уровня значимости =0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.