3.2.3. Подбор подходящего закона распределения вероятностей

При достаточно большом объеме выборки статистические данные позволяют подобрать подходящее распределение вероятностей. С этой целью можно рассмотреть некоторые известные распределения, например равномерное, нормальное и гамма-распределение.

Предположим, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Будем называть это предположение гипотезой о виде распределения случайной величины X. Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их не­которые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины X было равно выбо­рочной средней – m = 17.74, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X — выборочному среднему квадратическому отклонению – .

Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами:

Далее построим таблицу 3.2.3.1.

Таблица 3.2.3.1. Значения плотностей распределения

Пар-ры равн. распр-я
a	-16.243
b	51.722
Пар-ры норм. распр-я
m	17.739
σ	19.620
Пар-ры гамма- распр-я
α	0.818
β	21.699

Середина	Плотность относ. частот	Плотность равномер. распред.	Плотность нормал. распред.	Плотность гамма- распред.
9.250	0.042	0.015	0.019	0.031
25.750	0.013	0.015	0.019	0.012
42.250	0.004	0.015	0.009	0.005
58.750	0.000	0.000	0.002	0.002
75.250	0.000	0.000	0.000	0.001
91.750	0.000	0.000	0.000	0.000
108.250	0.001	0.000	0.000	0.000
124.750	0.000	0.000	0.000	0.000
141.250	0.000	0.000	0.000	0.000
157.750	0.001	0.000	0.000	0.000

П остроим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из ука­занных ранее распределений. Гистограмма частот— это графическое изо­бражение зависимости плотности относительных частот от соответст­вующего интервала группировки. Графическое изображение гистограм­мы и кривых различных распределений приведено на рис. 3.2.3.1.—3.2.3.3.

Рис 3.2.3.1. Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения

Рис 3.2.3.2. Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения

Рис 3.2.3.3. Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

По внешнему виду этих графиков вполне можно судить о соответствии кривой распределения данной гистограмме, т. е. о том, какая кривая ближе к по­лученной гистограмме.

Используя критерий , надо установить, верна ли принятая нами гипотеза о распределении случайной величины X, т. е. о соответствии функции распределения F(х) экспериментальным данным, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

Для применения критерия необходимо, чтобы частоты , соответствую­ще каждому интервалу, были не меньше 5. Если это не так, рядом стоящие Интервалы объединяются, а их частоты суммируются. В результате общее количество интервалов может уменьшиться до значения k’.Далее вычисля­ется следующая сумма:

где - теоретическая вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала . Мы предположили, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x), поэтому Расчет для трех распределений показан в табл. 3.2.3.2. Заметим, что интервалы с 5-ого по 10-й объединены в один, чтобы все частоты были не менее пяти.

Таблица 3.2.3.2. Подбор распределения на основе критерия

Левая граница	Правая граница	Частота	Вероятности	x2
			Равномерное распределение
1.000	17.500	70	0.243	86.112
17.500	34.000	21	0.243	0.442
34.000	50.500	7	0.243	12.296
50.500	67.000	0	0.018	1.798
67.000	83.500	0	0.000	#ДЕЛ/0!
83.500	166.000	2	0.000	#ДЕЛ/0!
Сумма				100.648
			Нормальное распределение
1.000	17.500	70	0.298	54.069
17.500	34.000	21	0.301	2.764
34.000	50.500	7	0.156	4.751
50.500	67.000	0	0.041	4.146
67.000	83.500	0	0.006	0.562
83.500	166.000	2	0.000	95.667
Сумма				161.960
			Гамма- распределение
1.000	17.500	70	0.557	3.699
17.500	34.000	21	0.204	0.021
34.000	50.500	7	0.086	0.313
50.500	67.000	0	0.038	3.798
67.000	83.500	0	0.017	1.695
83.500	166.000	2	0.014	0.286
Сумма				9.812
Критическое значение критерия				7.815

Для каждого рассмотренного распределения определяются итоговые суммы которые равны соответственно 100,648, 161,96 и 9,812.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение достаточно мало, а именно не превосходит критического значения , которое определяется по распределению в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы . Здесь s — число неизвестных параметров распределения, которые были оп­ределены по выборке (для равномерного, нормального и гамма-распределений s = 2). В данном случае . Полагая α = 0,05, критическое значение критерия в Excel рассчитывается по формуле: ХИ2ОБР(0,05;2) = 7,815.

Поскольку < , то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют гамма-распределение с параметрами α = 2,47 и β = 23,65 соот­ветственно.