18. Логарифмический критерий устойчивости. Оценка запаса устойчивости по фазе и амплитуде.

L (w) w _ср

Φ (w) Δl(w)

-π

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛАЧХ разомкнутой системы пересекала ось частот раньше чем ЛФЧХ линию фазового сдвига –π.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы частота среза располагалась левее точки пересечения ЛФЧХ с линией фазового сдвига –π.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных(снизу вверх) и отрицательных(с верху вниз) переходов фазочастотной характеристики линии фазового сдвига –π=l/2, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Начало характеристики на линии фазового сдвига принимается за 0,5 перехода.

Логарифмический критерий устойчивости позволяет просто определить запасы устойчивости системы по амплитуде.

Δl(w) – запас устойчивости системы по амплитуде.

Необходимые значения запаса устойчивости зависят от классов систем и требований к качеству регулирования.

Ориентировочно: Δφ(w)=30..60⁰; Δl(w)=6..20 дб.

19. Точность систем автоматического регулирования. Установившаяся ошибка при различных типовых воздействиях. Коэффициенты ошибок.

Точность линейной системы управления:

Ε(t)=g(t)-y(t); Lim_t>∞ Ε(t)= Ε_уст. (установившаяся ошибка);

Ошибка регулирования может быть определена в системе с использованием теоремы оконечных значениях преобразования Лапласа.

X (t)X(p); Lim_t>∞X(t)= Lim_р>0 pX(p)

f

W1

W2

g E y

Ф _ε(p)=E(p)/G(p)=1/(1-W(p)); W(p)=W₁(p)*W₂(p); Ф_ε(p)=E(p)/F(p)=W₂(p)/(1+W(p))

E(p)= Ф_ε(p)*G(p)=G(p)/(1+W(p)); E(p)= Ф_ε(p)*F(p)=F(p)*W₂(p)/(1+W(p))

E_уст=lim_t>∞E(t)=lim_p>∞E(p)=lim_p>∞[G(p)/(1+W(p))]; E_уст=lim_p>0 p[F(p)*W₂(p)/(1+W(p))]

Ошибка регулирования зависит от динамических свойств и от выходной характеристики.

1) Ступенчатое воздействие.

g(t)=g_0; G₀=g₀/g – система статическая.; W(p)=B(p)/A(p); E_уст=lim p[(g₀/p)/(1+B(p)/A(p))]

Ошибка регулирования тем больше, чем больше g

E_ст=F*k/(1+k) – статическая ошибка.;W(p)=B(p)/(p^νA(p))

ν – порядок астатизма системы.

ν=1:

E_уст=lim_p>0[(g₀/p)/(1+B(p)/pA(p))]=lim_p>0 p[(g₀ f A(p))/(p(pA(p)+B(p)))]=0

2) Инерционное воздействие.

g(t)=g₀t; G(p)=g₁/p₁

2.1 статическая

W(p)=B(p)/A(p); E_уст=lim_p>0 p[(g₁/p²)/(1+B(p)/A(p))]=∞; В статической системе при линейном воздействии внешнего регулирования будет достигнуто нелинейное значение.

2.2 Астатическая система.

ν=1:

W(p)=B(p)/pA(p); E_уст=lim_p>0 p[(g₁/p²)/(1+B(p)/pA(p))]=lim[g₁ pA(p)/(pA(p)+B(p)p²)]=g₁/k=E_ск

E_ск – скоростная ошибка.

Коэффициенты ошибок:

Установившиеся значения ошибки воспроизведения задающего воздействия:

g=g(t), являющегося произвольной, но достаточно малой функцией времени можно определить с помощью коэффициентов ошибок по следующей формуле:

E_g=C₀g+Cdg/dt+C₂d²g/(2!*dt²)+…. ; C_0, C₁, C₂ – коэффициенты ошибок

Можно вычислять по передаточной функции для ошибки слежения и ее производным по р, при р=0. С₀=Ф*Е(р) р=0; C₁=dФ*E(p)/dp p=0; C₂=d²Ф*E(p)/dp² p=0

Для статической системы:

C₀=1/(1+k)

Для астатической первого порядка ν=1:

C₀=0; C₁=1/k;

ν=2:

C₀=C₁=0; C₂=1/k

k – добротность системы по скорости

g=at²+bt+c; dq/dt=2at+b; d²q/dt²=2a

Аналогично можно записать формулировку коэффициента ошибок и возмущающего воздействия. Достаточно главной функции времени.

E_f=C₀f+C₁dF/dt+C₂d²F/(2!*dt²)

C₀= Ф*E(p) p=0; C₁=dФ*E(p)/dp p=0

Передаточная функция для ошибки есть дробнорациональная функция от р, поэтому значения коэффициентов ошибок можно вычислить делением ее числителя на знаменатель. Такой прием можно использовать когда необходимо вычислить более четырех коэффициентов ошибок.