16. Частотный критерий устойчивости Михайлова.

Он является частотным критерием и позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по виду годографа характеристического вектора соответствующей системы.

A(p)=a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+ a_n-2p^n-2+…+ a₂p²+ a₁p+ a₀

Перейдем к частотной функции характеристического многочлена, заменив p на jw:

A(jw)=a₀+a₁jw - a₂ w² – ja₃ w³+…+jⁿa_nwⁿ=U_a(w)+jV_a(w), где U_a(w) – вещественная составляющая.

U _a(w)=a₀-a₂w²+a_nwⁿ+…

V _a(w)=+a₁w-a_3­w³+a₅w⁵+…

Для этой функции можем построить годограф.

U _a(0)=a₀ U_a(∞)=±∞

V_a(0)=0 V_a(∞)=±∞

Построенная кривая – годограф характеристического уравнения системы, годографом или кривой Михайлова.

Критерий:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты в интервале от 0 до ∞, начинаясь в точке на вещественной положительной полуоси последовательно обходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не пересекая начало координат.

2-я формулировка:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ изменение фазы частотной функции характеристического уравнения: δφ_a(w)=n_*π/2

Свойства чередования корней.

Для устойчивости системы корни должны чередоваться.

Система находится на грани устойчивости ==> система не устойчива.

17. Критерий устойчивости Найквиста. Особенности применения для астатических систем

Относится к частотным критериям и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду годографа АФХ разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы – Ф(p)=W(p)/(1+W(p))

Передаточная функция разомкнутой системы – Ф(p)=(B(p)/A(p))/(1-B(p/A(p)))

1+W(p)=(1+B(p))/A(p)=(A(p)+B(p))/A(p)=C(p)/A(p)

Заменяем р на jw:

D(jw)=1+W(jw)=C(jw)/A(jw)

D(jw)e^jφd(w)= C(w) e^jφc(w)/A(w) e^jφa(w)

φ_d(w)= φ_c(w)- φ_a(w); если замкнутая система устойчива, то φ_c(w)=n_*π/2

Разомкнутая система в общем случае может быть не устойчива. Но если она устойчива в замкнутом состоянии, то этого достаточно для ее работоспособности.

(-n+2l)π/2= l_*π

Для устойчивости замкнутой линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞, изменение фазы частотной функции D(jw) равной 1+W(jw) равнялась l_*π, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Вспомогательную частотную функцию W(jw) на 1 отличающуюся от амплитудно фазовой характеристики разомкнутой системы можно рассматривать как АФХ при смещении оси ординат на -1.

На практике такого смещения не делают, а рассматривают изменение фазы функции D(jw) как изменение фазы вектора, проведенного из точки с координатами (-1;j₀) к годографу АФХ разомкнутой системы.

При изменении частоты до ∞ конец этого вектора скользит по годографу АФХ разомкнутой системы.

Формулировка критерия:

1 ) Общий случай: для устойчивости замкнутой системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение фазы вектора проведенного из точки (-1;j₀) к годографу АФХ разомкнутой системы при изменении частоты в интервале от 0 до ∞ было равно l_*π, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

-1 система устойчива

2) Частный случай 1: если в разомкнутом состоянии система устойчива, тогда для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы не охватывал точку (-1;j₀)

3) Частный случай 2: Особенности применения критерия Найквиста для астатических систем.

w=∞

-1

w>0

При оценке устойчивости астатических систем необходимо учитывать фазовый сдвиг определяемый левыми корнями характеристического уравнения, чтобы исключить влияние интегрирующих звеньев необходимо при w>0 достроить АФХ разомкнутой системы дугой ∞-о большого радиуса ν_*π/2 против часовой стрелки, где ν – порядок астатизма системы – число интегрирующих звеньев. Далее применяем критерий Найквиста в обычной интерпретации.