14. Устойчивость линейных систем автоматического регулирования. Необходимое и достаточное условие устойчивости. Структурная устойчивость систем.

Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения воздействий, нарушивших указанное равновесие.

САУ называется устойчивой, если при изменении задающего воздействия на постоянную величину, или при снятии воздействия регулируемая величина достигает установившегося значения; если же в системе возникают не затухающие колебания или отклонение регулируемой величины возрастает до недопустимой величины, то системы не устоичива.

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно чтобы возникающие в ней переходные процессы были затухающими.

Y(t)=Y_c(t)+Y_b(t)

Y_c(t) определяются общим решением однородного уравнения.

Y_b(t) – вынужденное движение системы – частотное решение дифференциального уравнения.

Y_c(t) характеризует переходной процесс системы.

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно:

Lim_t>∞Yc(t)=0

a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀=0

P₁=α₁; P₂= α₂; P_k= α_w±jwk

Y_c(t)=C₁e^α1t+ C₂e^α2t+…+ C_ke^αkt

Из анализа последнего выражения Y_c(t): для устойчивости линейной системы n – го порядка необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных корней характеристического уравнения системы были отрицательны.

Т. к. характеристические уравнения выше 3-го порядка аналитически не решаются, в инженерной практике нашли применение косвенные методы оценки устойчивости систем с помощью критериев устойчивости.

Критерий устойчивости – это алгоритм, правило, позволяющее сделать вывод об устойчивости системы без нахождения корней характеристического уравнения.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

15. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Рауса.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 были положительны все n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения составленного по определенному закону: по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения начиная с n-1

Столбцы матрицы заполняются вверх от главной диагонали коэффициентами с убывающими индексами, вниз от главной диагонали – коэффициентами с возрастающими индексами. Коэффициенты с индексами больше n и меньше 0 заменяются нулями. Для нахождения определителя берется n первых строк и столбцов матрицы коэффициентов.

I a_n-1 a_n-3 a_n-5 ……………0 I

I a_n a_n-2 ………………...0 I

I 0 a_n-1 a_n-3 ……………0 I

n = I ********************* I

I …………………. a₂ a₀ 0 I

I…………………. a₃ a₁ 0 I

I …………………. a₄ a₂ a₀ I

Если все определители больше 0 – системы устойчива.

Если меньше нуля – система не устойчива.

Необходимое и достаточное условие устойчивости:

A_n(p-p₁)( p-p₂)…( p-p_n)

(p+α_k-jw)( p+αk+jw)=( p+α_k)²+w²

Необходимое условие устойчивости состоит в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы.

Критерий устойчивости Рауса.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно чтобы при a_n>0 были положительными все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса, составленной по следующему правилу:

a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…

Вспомогательный коэффициент	Номер строки	Номер столбца
		1	2	3
	1	C11an	C12an-2	C13an-4
	2	C21an-1	C22an-3	C23an-5
r3=C11/C21	3	C31=C12-r3C22	C32=C13-r3C23	C33
R4=C21/C31	4	C41=C22-r4C32	C42=C23-r4C33

r_i=C_(i-2)1/C_(i-1)1; C_ik= C_(i-2)(k+1)-r_i C_(i-1)(k+1)