Двойственная задача
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставлять некоторую другую задачу линейного программирования, называемую двойственной задачей или сопряженной по отношению к исходной или прямой.
F – c1x1+c2x2+...+cnxn (10)
Рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции при условиях:
(11)
(12)
Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции
F*=b1y1+b2y2+...+bmym (13)
при
условиях:
(14)
(15)
называется двойственной по отношению к задаче (10) — (12).
Задачи (10) – (12) и (13) – (15) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой.
Двойственный симплекс-метод
Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов Pj, составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется m единичных. Такую задачу и рассмотрим теперь, предварительно предположив, что единичными являются векторы P1, P2,..., Pm т. е. рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции
F=c1x1+c2x2+...+cnxn (16)
при условиях:
x1P1+x2P2+...+xmPm+xm+1Pm+1+...+xnPn=P0 (17)
(18)
где:
и среди
чисел
имеются
отрицательные.
Отыскание решения задачи (16) – (18) двойственным симплекс-методом включает следующие этапы:
Находят псевдоплан задачи.
Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.
Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине отрицательного числа столбца вектора Р0 и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по абсолютной величине отношения элементов (m+1)-й строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.
Находят новый псевдоплан и повторяют все действия начиная с этапа 2.
Таблица 2 - Симплекс-таблица
i |
базис |
Cb |
P0 |
c1 |
c2 |
... |
ce |
... |
cm |
cm+1 |
... |
cy |
... |
cn |
P1 |
P2 |
... |
Pe |
... |
Pm |
Pm+1 |
... |
Py |
... |
Pn |
||||
1 2 ⁞ e ⁞ I ⁞ m m+1 |
P1 P2 ⁞ Pe ⁞ Pi ⁞ Pm
|
c1 c2 ⁞ ce ⁞ ci ⁞ cm
|
b1 b2 ⁞ be ⁞ bi ⁞ bm F0 |
1 0 ⁞ 0 ⁞ 0 ⁞ 0 0 |
0 1 ⁞ 0 ⁞ 0 ⁞ 0 0 |
… … ⁞ … ⁞ … ⁞ … … |
0 0 ⁞ 1 ⁞ 0 ⁞ 0 0 |
… … ⁞ … ⁞ … ⁞ … … |
0 0 ⁞ 0 ⁞ 0 ⁞ 0 1 |
a1m+1 a2m+1 ⁞ aem+1 ⁞ aim+1 ⁞ amn+1 Δm+1 |
… … ⁞ … ⁞ … ⁞ … … |
a1y a2y ⁞ aey ⁞ aiy ⁞ amy Δy |
… … ⁞ … ⁞ … ⁞ … … |
a1n a2n ⁞ aen ⁞ ain ⁞ amn Δn |