2.3. Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы первого рода

Если функция определена и непрерывна на любом отрезке [a,b], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

или , или

, с – произвольное число.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теоремы о сходимости и расходимости:

Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).
Если при и существует конечные предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).
Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры:

1. - не существует несобственный интеграл расходится.

2. - интеграл сходится.

2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)

Если функция непрерывна на промежутке и имеет разрыв II-го рода при , то несобственным интегралом неограниченной функции или несобственным интегралом второго родва называется интеграл: или , если функция терпит бесконечный разрыв в точке .

Если функция терпит разрыв II-го рода во внутренней точке , то несобственным интегралом второго рода называют интеграл: .

Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.

Теоремы о сходимости и расходимости:

Если на промежутке функции и непрерывны, при терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).
Пусть функции и непрерывны на промежутке и в точке терпит разрыв II-го рода. Если существует предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).
Если функция , знакопеременная на отрезке , имеет разрыв в точке , и несобственный интеграл сходится, то сходится и интеграл .