1.6. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции

1. Интеграл вида :

   1. Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных

корней, такой многочлен называется эллиптическим:

• – эллиптический интеграл 1 рода;

• – эллиптический интеграл 2 рода;

• – эллиптический интеграл 3 рода.

(0 < k < 1, h – комплексное число)

2. Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

3. Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим.

1. - интеграл Пуассона².

2. - интегралы Френеля³.

3. - интегральный логарифм.

4. - интегральная показательная функция.

5. - интегральный синус.

1.7. Задания для самопроверки №1

Вычислить:

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:

12. Ответ:

13. Ответ:

14. Ответ:

15. Ответ:

16. Ответ:

17. Ответ:

18. Ответ:

19. Ответ:

20. Ответ:

21. Ответ:

22. Ответ:

23. Ответ:

24. Ответ:

25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:

а) ;

b) ;

c) .

§2. Определенный интеграл

2.1. Основные понятия и методы решения определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке длины выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю

м аксимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек , на отрезках .

Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [a, b] – отрезок интегрирования.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определённый интеграл существует.

Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

Теорема (Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет первообразную, равную интегралу , и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство .

Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница⁴.

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то .

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: .

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что .

7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8. .

9. 

Методы интегрирования определенного интеграла: