Взаимокорреляционная функции сигналов.

В ряде теоретических и прикладных разделов радиотехники бывает удобным ввести особую характеристику совокупности двух сигналов — их взаимокорреляционную функцию (ВКФ), которая единым образом описывает как различие в форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени.

Принцип определения взаимокорреляционной функции. Обобщая формулу (1), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и скалярное произведение вида

(13)

Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть, например, сигналы u(t) и v(t) в исходном состоянии ортогональны, так что

При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал v(t) будет сдвинут относительно сигнала u(t) на некоторое время . Ясно, что ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Некоторые свойства взаимокорреляционной функции. Если в формуле (13) заменить переменную интегрирования, введя

, так что , то, очевидно, возможна и такая запись:

(14)

Поэтому

(15)

В отличие от автокорреляционной функции одиночною сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента :

Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши – Буняковского:

откуда

(16)

так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы.

Следует обратить внимание на то, что при  = 0 значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью. Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики. Методика рассуждений полностью повторяет ту, которая применялась ранее при спектральном представлении автокорреляционной функции одиночного сигнала. На основании обобщенной формулы Рэлея

и, поскольку спектр смещенного во времени сигнала , то

(17)

Имея в виду, что величина есть взаимный энергетический спектр сигналов и(t) и v(t), определенный в бесконечном интервале частот , приходим к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье.

Обобщение на случай дискретных сигналов. Пусть сигналы u(t) и v(t) заданы в дискретной форме как совокупности отсчетов:

u={…,u_-1, u₀, u₁, u₂, …},

v={…,v_-1, v₀, v₁, v₂, …},

следующих во времени с одинаковыми интервалами Т. По аналогии с автокорреляционной функцией одиночного сигнала определим ВКФ двух дискретных сигналов по формуле

(18)

где п — целое число, положительное, отрицательное или нуль.

Практическая часть.

1) Создать модель сигналов:

1. прямоугольный видеоимпульс длительностью T

2. последовательность прямоугольных видеоимпульсов длительностью T

3. треугольный импульс длительностью T

4. пилообразный сигнал длительностью T

5. экспоненциальный сигнал длительностью T

6. гауссовский сигнал длительностью T (длительность определяется по стандарту нормального распределения)

7. сумма двух гауссовских сигналов одинаковой амплитуды, максимумы которых находятся на расстоянии их длительностей T

8. отрезок синусоидального сигнала длительностью T

9. отрезок меандра длительностью T

10. дельта-импульс

11. белый шум

12. sinc(x)

13. chirp

дать графическую иллюстрацию сигналов и их АКФ, описать на полученных результатах свойства АКФ, используя любые три из перечисленных сигналов, реализовать связь между АКФ и его энергетическим спектром.

2. Используя любые три из перечисленных сигналов, представить их ВКФ, рассмотреть ее свойства, реализовать связь между ВКФ и его энергетическим спектром.

3. Используя любые три из перечисленных сигналов реализовать их АКФ и ВКФ посредством операции свертки.