Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала.

Найденная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром дает возможность установить интересный и на первый взгляд неочевидный критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр любого сигнала, по определению, должен быть положительным [см. формулу (8)]. Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять

и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то

Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала.

Автокорреляционная функция дискретного сигнала

Изучая АКФ пачки прямоугольных видеоимпульсов, соответствующий график имеет специфический лепестковый вид. С практической точки зрения, имея в виду использование АКФ для решения задачи обнаружения такого сигнала или измерения его параметров, совершенно несущественно, что отдельные лепестки имеют треугольную форму. Важен лишь их относительный уровень по сравнению с центральным максимумом при  = 0.

Наша ближайшая задача — изменить определение автокорреляционной функции таким образом, чтобы можно было извлекать из нее полезную информацию, абстрагируясь от второстепенных подробностей. Основой для этого служит идея математической модели дискретного сигнала. Описание сложных сигналов с дискретной структурой. Пачка одинаковых прямоугольных видеоимпульсов — простейший представитель класса сложных сигналов, построенных в соответствии со следующим принципом. Весь интервал времени существования сигнала разделен на целое число М > 1 равных промежутков, называемых позициями. На каждой из позиций сигнал может находиться в одном из двух состояний, которым отвечают числа +1 и –1. Рис. 2 поясняет некоторые способы формирования сложного многопозиционного сигнала. Для определенности здесь М = 3. Видно, что физический облик дискретного сигнала может быть различным. В случае а символу +1 соответствует положительное значение U₀ высоты видеоимпульса, передаваемого на соответствующей позиции; символу -1 отвечает отрицательное значение -U₀. Говорят, что при этом реализовано амплитудное кодирование сложного сигнала. В случае б происходит фазовое кодирование. Для передачи символа +1 на соответствующей позиции генерируется отрезок гармонического сигнала с нулевой начальной фазой. Чтобы отобразить символ -1, используется отрезок синусоиды такой же длительности и с той же частотой, но его фаза получает дополнительный сдвиг на 180⁰.

Рис. 2. Трехпозиционный сложный сигнал:

а — амплитудное кодирование; б — фазовое кодирование

Несмотря на различие графиков этих двух сигналов, между ними, в сущности, можно установить полное тождество с точки зрения их математических моделей. Действительно, модель любого такого сигнала — это последовательность чисел {u₁, u₂, …, u_M-1, u_M}, в которой каждый символ и, принимает одно из двух возможных значений 1. Для удобства договоримся в дальнейшем дополнять такую последовательность нулями на «пустых» позициях, где сигнал не определен. При этом, например, развернутая форма записи дискретного сигнала {1, 1, -1, 1} будет иметь вид

… 0 0 0 1 1 –1 1 0 0 …

Важнейшая операция при обработке дискретных сигналов состоит в сдвиге такого сигнала на некоторое число позиций относительно исходного положения без изменения его формы. В качестве примера ниже представлен некоторый исходный сигнал (первая строка) и его копии (последующие строки), сдвинутые на 1, 2 и 3 позиции в сторону запаздывания;

… 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 …

… 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 …

… 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 …

… 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 …

Постараемся так обобщить формулу (1), чтобы можно было вычислять дискретный аналог АКФ применительно к многопозиционным сигналам. Ясно, что операцию интегрирования здесь следует заменить суммированием, а вместо переменной  использовать целое число n (положительное или отрицательное), указывающее, на сколько позиций сдвинута копия относительно исходного сигнала. Так как в «пустых» позициях математическая модель сигнала содержит нули, запишем дискретную АКФ в виде

(10)

При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретною алкала:

Эта функция целочисленного аргумента п, естественно, обладает многими уже известными свойствами обычной автокорреляционной функции. Так, легко видеть, что дискретная АКФ четна:

(11)

При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретною алкала:

(12)

Сигналы Баркера. Дискретные сигналы с наилучшей структурой автокорреляционной функции явились в 50 – 60-е годы объектом интенсивных исследований специалистов в области теоретической радиотехники и прикладной математики. Были найдены целые классы сигналов с совершенными корреляционными свойствами. Среди них большую известность получили так называемые сигналы (коды) Баркера. Эти сигналы обладают уникальным свойством: независимо от числа позиции М значения их автокорреляционных функций, вычисляемые по формуле (10), при всех и n  0 не превышают единицы. В то же время энергия этих сигналов, т.е. величина , численно равна М.

Сигналы Баркера удается реализовать лишь при числе позиций М = 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13. Случай М = 2 является тривиальным. Математические модели сигналов Баркера и отвечающие им автокорреляционные функции приведены в табл. 1.

М	Модель сигнала	АКФ
3 4 5 7 11 13	1 1 –1 1 1 1 -1 1 1 –1 1 1 1 1 –1 1 1 1 1 –1 –1 1 –1 1 1 1 –1 –1 –1 1 –1 –1 1 –1 1 1 1 1 1 –1 –1 1 1 –1 1 –1 1	3 0 -1 4 1 0 -1 4 –1 0 1 5 0 1 0 1 7 0 –1 0 –1 0 -1 11 0 –1 0 –1 0 –1 0 –1 0 –1 13 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1