Лабораторная работа №3

Корреляционный анализ сигналов

Цель: изучение основ корреляционного анализа, исследование функций АКФ и ВКФ.

Основные сведения, необходимые для выполнения работы.

На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех или иных конкретных применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (Телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комплексе с оборудованием для их кодирования, модуляции и обратною преобразования в сообщение оказывалась трудно осуществимой,

В настоящее время ситуация в корне изменилась. В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется, прежде всего, не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникают потребности в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример.

Сравнение сигналов, сдвинутых во времени. Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине  - задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего u(t) и принятого u(t-) сигналов одинаковы при любых задержках. Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рис. 1.

Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени ₁, ₂, …, _N. Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом; сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели.

Рис. 1. Устройство для измерения времени задержки сигналов

Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени. Таким образом, мы получили качественное представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения. Перейдем к точной математической формулировке поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спектров сигналов.

Автокорреляционная функция сигнала.

Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии u(t-) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии:

(1)

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (1) заведомо существует.

Непосредственно видно, что при  = 0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

(2)

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:

(3)

Действительно, если в интеграле (1) сделать замену переменных х = t - , то

(4)

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига  модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

(5)

Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Буняковского:

(6)

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала u(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

Связь между энергетическим спектром сигнала я его автокорреляционной функцией.

Легко показать, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Действительно, в соответствии с формулой (1) АКФ есть скалярное произведение: B_u() = (u,u_). Здесь символом u_ обозначена смещенная во времени копия сигнала u(t-).

Обратившись к обобщенной формуле Рэлея, можно записать равенство

Спектральная плотность смешенного во времени сигнала

, откуда .

Таким образом, приходим к результату:

(7)

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

(8)

Ясно, что имеется и обратное соотношение:

(9)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точки зрения возможности точного измерения момента ею начала,

Во-вторых, формулы (7) и (9) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой прием получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.