Линейная зависимость и независимость векторов.

     Пусть – векторы из некоторого линейного пространства.     Определение: Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.      Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор.      Примеры:          1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);          2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).     Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах мы всегда получим ).      Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.      Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.      Если , то .    И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов , то он в совокупности с ними дает систему линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации коэффициент .      Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при всех . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.       Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?     Решение. Составим линейную комбинацию . Подставим координаты и выполним действия над векторами: λ(2,4)+β(5,1)=(0,0) => (2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0) => (2λ+5β,4λ+β)=(0,0).       В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:             Решив эту систему уравнений, получаем: а это значит, что линейно независимы.       Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?   Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к :      Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим      Решим систему уравнений: .      В этом решении число β играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β дают то или иное решение системы. Так, при β ≠ 0 получим α ≠ 0 и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.

Определение.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

         1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

         2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

         3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

         4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

         5) 1 · х = х,

         6) α(βx) = (αβ) х (ассоциативность умножения);

         7) (α + β) х = αх + βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

         8) α(х + у) = αх + αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

         Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

         α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_ne_n (1)

         называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами α₁, α₂,..., α_n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α₁, α₂,..., α_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

         1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

         2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

         3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

         4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

         5) 1 · х = х,

         6) α(βx) = (αβ) х (ассоциативность умножения);

         7) (α + β) х = αх + βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

         8) α(х + у) = αх + αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

         Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

         α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_ne_n (1)

         называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами α₁, α₂,..., α_n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α₁, α₂,..., α_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.

Проекция вектора на ось и ее свойства.

Определение 1. Углом между векторами и называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения этих векторов к общему началу.

называется направленная прямая. Направление прямой на рисунке обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси считается положительным, противоположное - отрицательным.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора , расположенного на оси l . Такой вектор называется  ортом оси l.

Определение 2. Углом между вектором и осью  l называется угол между векторами и (рис. 31).

Определение 3. Проекцией точки А на ось l (рис. 32) называется точка в которой пересекается ось с плоскостью, перпендикулярной к l , проходящей через точку А.

Определение 4 Компонентой (составляющей) вектора = на ось (рис. 33) называется вектор , где , соответственно проекции точек А, В на  l .

Определение5. Проекцией вектора на ось l ( ) называется длина его компоненты на ось l , взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l , и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси .

Если = , то полагают  = .

Теорема I  Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью  l.

= .

Доказательство. Так как вектор = свободный, то можно предположить, что начало его О лежит на оси l (рис. 34).

Если угол острый , то направление компоненты = , вектора совпадает с направлением оси l  (рис 34,а).

В этом случае имеем  = + = . Если же угол (рис. 34, б), то направление компоненты = вектора противоположно направлению оси l. Тогда получаем = = cos( - ) = сos

Наконец, если = (рис. 34, в), то = 0 и соs = 0. Таким образом, снова имеем соотношение  = соs .

Следствие1 Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол тупой, равна нулю, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема 2. Проекции векторов , на данную ось обладают следующими свойствами:

Доказательство. Свойство (5) иллюстрирует рис. 35. Докажем свойство (6). Считая, что угол между вектором  =    и направлением l равен , имеем при  > О  = | |соs = | |соs =

при  < 0 = | |соs( - ) = - | |соs ( - ) = | |соs = (при  < 0 вектор направлен в сторону, противоположную направлению ; если образует с l  угол , то образует с l угол - ). При  = 0 левая и правая части (6) обращаются в нуль.