1.1.6.3. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А(В)=Р(В). (1.1.6.8)

Вспомним, что

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Если событие В не зависит от события А, то Р(А)Р_А(В)=Р(А)Р(В). Но это произведение равно Р(В)Р_В(А), следовательно Р_В(А)=Р(А). Таким образом, если событие В не зависит от события А, то и А не зависит от В, т.е. свойство независимости событий обладает взаимностью.

Итак, для независимых событий

Р(АВ)=Р(А)Р(В). (1.1.6.9)

Равенство (1.1.6.9) представляет собой теорему умножения вероятностей для независимых событий. Иногда эту формулу принимают за определение независимых событий: два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей их появления. В противном случае события называют зависимыми.

Пример 1. Найти вероятность совместного поражения мишени двумя стрелками, если вероятности ее поражения первым и вторым стрелком равны 0,9 и 0,8.

Решение. Событие А (поражение мишени первым стрелком) и событие В (поражение мишени вторым стрелком) – независимые события, поэтому

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,90,8=0,72.

Замечание. Если А и В – независимые события, то независимы также события А и , и В, и . Докажем первое из утверждений.

Событие А можно трактовать как сумму несовместных событий А и АВ:

А=А +АВ.

Тогда по теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(А )+Р(АВ).

Но Р(АВ)=Р(А)Р(В), поэтому

Р(А )=Р(А)–Р(А)Р(В)=Р(А)(1–Р(В))=Р(А)Р( ).

Остальные утверждения доказываются аналогично.

1.1.6.4. События, независимые в совокупности. Вероятность появления хотя бы одного события

Если рассматривается несколько (более двух) независимых событий, то их независимость может иметь различный характер. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В и С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, события А₁, А₂, А₃ независимы в совокупности, если независимы следующие события: А₁ и А₂; А₁ и А₃; А₂ и А₃; А₁ и А₂А₃; А₂ и А₁А₃; А₃ и А₁А₂.

Из этого определения следует, что если события независимы в совокупности, то для каждого из них любая условная вероятность, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события, равна безусловной вероятности появления данного события. Отсюда же ясно, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Таким образом, требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теорема. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)Р(А₂)…Р(А_n). (1.1.6.10)

Доказательство приведем для n=3. Пусть события А, В, С независимы в совокупности. Тогда независимы АВ и С, так что

Р(АВС)=Р(АВС)=Р(АВ)Р(С).

Но Р(АВ)=Р(А)Р(В), поэтому Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С).

Замечание. Если события А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, то и противоположные события , , …, также независимы в совокупности.

Пример 1. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по 1 детали. Найти вероятность того, что три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь

(событие А):

.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В):

.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С):

.

События А, В, С независимы в совокупности, т.к. нет никакой связи между результатами экспериментов с отдельными ящиками. Поэтому

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)=0,80,70,9=0,504.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности. Вероятности появления этих событий будем считать заданными: р₁, р₂, …, р_n. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Ответ дает теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, :

Р(А)=1–q₁q₂…q_n, (1.1.6.11)

где q_i=1–р_i, i=1, …, n.

Доказательство. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …А_n. События А и … (ни одно из событий не наступило) противоположны, поэтому

Р(А)=1–Р( … ).

Но, если А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, то , , …, также независимы в совокупности, поэтому

Р( … )=Р( )Р( )…Р( )=q₁q₂…q_n,

Отсюда

Р(А)=1–q₁q₂…q_n,

что и требовалось доказать.

Частный случай: если события А₁, А₂, …, А_n имеют одинаковую вероятность р, то

Р(А)=1–qⁿ,

где q=1–р.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁=0,8; р₂=0,7; р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одновременном залпе всех орудий.

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ – события, соответствующие попаданию в цель из первого, второго и третьего орудий. Вероятности событий (промахов каждого из орудий) равны:

q₁=1–р₁=0,2; q₂=1–р₂=0,3; q₃=1–р₃=0,1.

Тогда

Р(А)=1–q₁q₂q₃=1–0,20,30,1=0,994.

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Пусть событие А: при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз. Тогда – событие, состоящее в том, что при n выстрелах не было ни одного попадания. Очевидно

Р( )=qⁿ=(1–р)ⁿ; P(A)=1–(1–р)ⁿ.

По условию задачи n следует найти из соотношения

1–(1–р)ⁿ0,9.

При р=0,4 1–р=0,6, т.е.

1–(0,6)ⁿ0,9; (0,6)ⁿ0,1; n lg0,6–1.

Т.к. lg0,6–0,2218, то

n(–0,2218)–1; .

Итак, n5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.