1.1.2. Классификация событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в данном эксперименте. Например, выпадение при бросании игральной кости (кубика с цифрами или точками от 1 до 6) четного числа очков и числа очков, кратного 3, являются совместными (выпало 6 очков). Если в одном опыте два события не могут произойти, они называются несовместными. Например, при одном выстреле попадание в цель и промах – события несовместные.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Примеры.

1. Выпадения на верхней грани игральной кости 1 очка, 2 очков, 3, 4, 5, 6 очков – события равновозможные.

2. При бросании монеты имеются два равновозможных события: выпадение "герба" и выпадение "решки".

3. Рассмотрим следующий пример. Пусть в урне содержатся шесть одинаковых по размеру шаров, причем два из них красные, три – синие и один – белый. Шары тщательно перемешаны. Это так называемая урновая схема. Считается, что человек, вынимающий из урны шар, заглянуть в урну не может. По весу же, размеру шаров и по их шероховатости на ощупь отличить шары друг от друга невозможно. Поэтому налицо симметричная ситуация: любой шар имеет равную возможность быть извлеченным Совершенно очевидно, что возможность вынуть наудачу белый шар или цветной (красный или синий) неодинаковая: возможность вынуть цветной шар больше, чем возможность вынуть белый. Как охарактеризовать численно эти разные возможности? Сначала введем понятие элементарного события.

Элементарное событие (исход) – это каждый из возможных исходов эксперимента (опыта). В нашем случае их всего шесть. Обозначим элементарные события так:

А₁ – появился белый шар;

А₂, А₃ – появился красный шар (их два, поэтому и событий два);

А₄, А₅, А₆ – появился синий шар (их всего три).

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них.

Очевидно, в нашем случае элементарные события А₁, А₂, …, А₆ равновозможны и образуют полную группу событий.

Теперь назовем событием А появление цветного шара, а событием В – появление белого шара. Те элементарные исходы, в которых наше событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Теперь ясно, что событие А происходит, если происходят события А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, а событие В происходит только в том случае, если происходит событие А₁.

1.1.3. Вычисление вероятности

1.1.3.1. Классическая вероятность

Будем считать, что имеется полная группа несовместных равновозможных событий. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев :

(1.1.3.1)

Эта формула называется классическим определением вероятности. Она пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к полной группе несовместных и равновозможных событий.

Из определения (1.1.3.1) следуют основные свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1.

В этом случае m=n, Р(А)= =1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

В этом случае m=0, поэтому Р(А)= = =0.

3. Вероятность случайного события

0 < P(A) < 1, т.к. 0 < m < n.

4. Для любого события

0  P(A)  1.

Пример 1. При бросании монеты в силу симметрии несовместными равновозможными исходами являются два: выпадение герба и решки. Поэтому . Каждому из этих событий благоприятствует один случай, , так что вероятности появления и герба, и решки одинаковы: .

Пример 2. В урне находятся тщательно перемешанные шары двух цветов: 7 белых и 3 черных. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность, что этот шар: а) белый; б) черный?

Общее число несовместных исходов эксперимента . Обозначим: событие – извлечен белый шар; событие – извлечен черный шар. Тогда, очевидно, количества благоприятных исходов: , а соответствующие вероятности

Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

а) на игральных костях в сумме окажется 10 очков;

б) на игральных костях в сумме окажется не более 7 очков.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны следующие 36 исходов (первая цифра означает число очков на первой кости, вторая – на другой):

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

Эти исходы являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу событий. Таким образом, .

Пусть – событие, заключающееся в том, что в сумме выпадает 10 очков. Какие элементарные события ему благоприятствуют? Те, которые в таблице выделены жирным шрифтом: 46, 55 и 64.

Тогда

.

Обозначим через событие, заключающееся в том, что сумма очков на двух костях не более 7 очков. Какие элементарные события благоприятствуют событию В? В таблице эти события набраны курсивом. Очевидно

.