УДК 514

ББК 22.143

Логинов В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Лекции для студентов, обучающихся по специальности 080100.62 (Экономика)

– М. Альтаир, 2013. – 114 с.

Лекции подготовлены профессором кафедры высшей математики Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. Логиновым. Курс лекций соответствует рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности 080100.62 (Экономика).

Рецензент доцент, к. ф.-м. н. Филиппов В.П.

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов несут автор и кафедра высшей математики МГАВТ

УДК 514

ББК 22.143

© Логинов В.А., 2013.

© МГАВТ, 2013.

Содержание

Предисловие…………………………………………………………………………….5

I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ………………………………………….6

1.1. Случайные события……………………………………………………………….6

1.1.1. Предмет теории вероятностей…………………………………………………..6

1.1.2. Классификация событий…………………………………………………………6

1.1.3. Вычисление вероятности………………………………………………………..7

1.1.3.1. Классическая вероятность…………………………………………………….7

1.1.3.2. Элементы комбинаторики…………………………………………………….9

1.1.4. Геометрическая вероятность…………………………………………………….11

1.1.5. Частота события. Статистическое определение вероятности…………………12

1.1.6. Основные теоремы теории вероятностей………………………………………13

1.1.6.1. Операции над событиями……………………………………………………..13

1.1.6.2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей…………………17

1.1.6.3. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий…..19

1.1.6.4. События, независимые в совокупности. Вероятность появления

хотя бы одного события………………..……………………………………20

1.1.6.5. Теорема сложения вероятностей совместных событий……………………..23

1.1.7. Формула полной вероятности…………………………………………………..25

1.1.8. Вероятности гипотез. Формула Байеса………………………………………..26

1.1.9. Схема независимых последовательных испытаний…………………………..27

1.1.9.1. Схема Бернулли. Формула Бернулли………………………………………..27

1.1.9.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа……………………………………….. .29

1.1.9.3. Интегральная теорема Лапласа………………………………………………30

1.2. Случайные величины……………………………………………………………..32

1. 2.1. Дискретная случайная величина и ее закон распределения…………………32

1.2.2. Биномиальное распределение………………………………………………….33

1.2.3. Распределение Пуассона (пуассоновское приближение

биномиального распределения)………………………………………………..34

1.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины………………….35

1.4. Дисперсия дискретной случайной величины……………………………………38

1.5. Математические ожидания и дисперсии некоторых случайных величин…….42

1.6. Непрерывные случайные величины……………………………………………..44

1.6.1. Функция распределения случайной величины…………………………… …44

1.6.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины..48

1.6.3. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение

непрерывной случайной величины……………………………………………...51

1.6.4. Наиболее распространенные распределения

непрерывных случайных величин……………………………………………….52

1.6.4.1. Равномерный закон распределения……………………………………………52

1.6.4.2. Нормальный закон распределения…………………………………………….54

1.6.4.3. Экспоненциальное (показательное) распределение………………………….61

1.7. Закон больших чисел. Теорема Ляпунова…………………………………………64

1.7.1. Неравенство Чебышева……………………………………………………………64

1.7.2. Теорема Чебышева…………………………………………………………………66

1.7.3. Теорема Бернулли………………………………………………………………….67

1.7.4. Понятие о центральной предельной теореме (о теореме Ляпунова)…………..68

1.8. Понятие о случайном векторе и законе распределения его координат…………68

1.8.1. Примеры случайных векторов……………………………………………………68

1.8.2. Закон распределения и функция распределения

двумерной случайной величины…………………………………………………..69

1.8.3. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства………70

1.8.4. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства…….71

1.8.5. Корреляционный момент и коэффициент корреляции…………………………72

1.8.6. Двумерное нормальное распределение…………………………………………...73

1.8.7. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии ……….73

1.9. Элементы теории массового обслуживания………………………………………..75

1.9.1. Предмет теории массового обслуживания………………………………………75

1. 9.2. Понятие о цепях Маркова…………………………………………………………75

1. 9.2.1. Цепь Маркова…………………………………………………………………….75

1.9.2.2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода…..76 1.9.2.3. Равенство Маркова……………………………………………………………….77

II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА……………………………….78

2.1. Общая терминология: генеральная совокупность, выборка………………………79

2.2. Эмпирическая функция распределения, полигон и гистограмма…………………79

2.3. Статистические оценки параметров распределения………………………………..83

2.3.1. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки……………………….. …83

2.3.2. Статистическая (выборочная) оценка математического ожидания………………84

2.3.3. Статистическая (выборочная) оценка дисперсии.…………………………………85

2.3.4. Интервальные оценки для математического ожидания.

Доверительный интервал, доверительная вероятность……………………………85

2.3.5 Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при известном значении …………………………86

2.4. Оценка параметров распределений с помощью метода

максимального правдоподобия………………………………………………………87

_{2.5. Статистическая проверка гипотез…………………………………………………….89}

_{2.5.1. Метод минимума среднего риска. Оптимальное решающее правило.}

_{Ошибки первого и второго рода……………………………………………………90}

_{2.5.2. Эмпирические критерии проверки статистических гипотез.}

_{Критерий Пирсона (критерий ). Критерий Фишера-Снедекора………………94}

_{2.6. Элементы корреляционного и регрессионного анализа……………………………97}

_{2.6.1. Выборочное уравнение прямой линии регрессии.}

_{Выборочный коэффициент корреляции……………………………………………97}

_{2.7. Элементы дисперсионного анализа………………………………………………….101}

2.7.1. Понятие о дисперсионном анализе…………………………………………………101

2.7.2. Однофакторный дисперсионный анализ. Факторная и остаточная дисперсии….101

_{2.8. Основы метода Монте-Карло (метода статистических испытаний)………………104}

_{2.8.1. Общее представление о методе…………………………………………………….104}

_{2.8.2. Задачи, решаемые методом Монте-Карло…………………………………………105}

_{2.8.3. Разыгрывание дискретной случайной величины………………………………….105}

_{2.8.4. Разыгрывание противоположных событий………………………………………..105}

_{2.8.5. Разыгрывание полной группы событий……………………………………………106}

_{2.8.6. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратной функции….106}

_{2.8.7. Разыгрывание нормальной случайной величины…………………………………..108}

_{2.8.8. Пример применения метода Монте-Карло. Моделирование системы}

_{массового обслуживания……………………………………………………………..109}

Список литературы…………………………………………………………………………...114