2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования

Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) или суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Предположим, что планируемый период равен n лет. Доход стареющего оборудования является функцией времени r(t) . При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t) , которая также зависит от возраста t , и купить новое оборудование за цену Р. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации после последней замены, определенный в годах.

Требуется найти такой план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t₀ лет.

Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t) , цена нового оборудования Р и начальный возраст t₀ .

При составлении динамической модели период эксплуатации разбивается на n шагов. Процесс оптимизации ведется с последнего шага. На k шаге неизвестно, в какие годы с первого по k-1 должна осуществляться замена и неизвестен возраст t оборудования к началу k-го года.

Переменная t является переменной состояния системы на k -ом шаге. Переменной управления x_k(t) на k -ом шаге является логическая переменная , принимающая одно из двух значений: С-сохранить или З-заменить оборудование в начале k -ого года.

Функцию Беллмана F_k(t) определяют как максимально возможный доход за годы с k -го по n -й, если к началу k -го возраст оборудования составлял t лет.

Если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу k+1 -го года его возраст равеn t +1, в случае замены новое оборудование достигнет к началу k +1-го года возраста t¹=1год.

Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:

r(t)+F_k+1(t+1), (C)

F_k(t)= max {

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

Функция F_k(t) вычисляется на каждом шаге для всех

1<=t<=t₀+k-1

Для первого шага при k = n функция представляет собой доход за последний год:

r(t), (C)

F_n(t)= max {

S(t)-P+r(0), (3)

Так проводится условная оптимизация.

Безусловная оптимизация проводится при известных F_n(t), F_n-1(t), …F₁(t), F₁(t₀) обратным ходом, то есть максимум дохода на первом году эксплуатации определяет управление и возраст оборудования к началу второго года, для данного возраста выбирается управление, при котором достигается максимум дохода на втором году и так далее. В результате определяются годы, в начале которых следует производить замену оборудования.

Пример.

Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования за 6 лет, если годовой доход и остаточная стоимость в зависимости от возраста даны в таблице 6. Стоимость нового оборудования Р=13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

Таблица 6

T	0	1	2	3	4	5	6
R(t)	8	7	7	6	6	5	5
S(t)	12	10	8	8	7	6	4

Решение

Условная оптимизация.

1 -шаг. к=6.

r(t), (C)

F_n(t)= max

S(t)-P+r(0), (3)

7 , (C)

F₆(1)= max =7

10-13+8, (3)

7 , (C)

F₆(2)= max =7

8-13+8, (3)

6, (C)

F₆(3)= max =6

8-13+8, (3)

6 , (C)

F₆(4)= max =6

7-13+8, (3)

5 , (C)

F₆(5)= max =5

6-13+8, (3)

5 , (C)

F₆(6)= max =5

4-13+8, (3)

2-шаг. к=5

r (t)+F_k+1(t+1), (C)

F_k(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7+7, (C)

F₅(1)= max =14

10-13+8+7, (3)

7 +6, (C)

F₅(2)= max =13

8-13+8+7, (3)

6 +6, (C)

F₅(3)= max =12

8-13+8+7, (3)

6 +5, (C)

F₅(4)= max =11

7-13+8+7, (3)

5+5, (C)

F₅(5)= max =10

6-13+8+7, (3)

3-шаг.к=4.

r (t)+F_k+1(t+1), (C)

F_k(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7 +13, (C)

F₄(1)= max =20

10-13+8+14, (3)

7 +13, (C)

F₄(2)= max =19

8-13+8+14, (3)

6+11 (C)

F₄(3)= max =17

8-13+8+14, (3)

6+10, (C)

F₄(4)= max =16

8-13+8+14, (3)

4-шаг.к=3.

r (t)+F_k+1(t+1), (C)

F_k(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7+19, (C)

F₃(1)= max =26

10-13+8+20, (3)

7 +17, (C)

F₃(2)= max =24

8-13+8+20, (3)

6+16, (C)

F₃(3)= max =23

8-13+8+20, (3)

5-шаг. к=2

r (t)+F_k+1(t+1), (C)

F_k(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7 +24, (C)

F₂(1)= max =31

10-13+8+26, (3)

7 +23, (C)

F₂(2)= max =30

8-13+8+26, (3)

6-шаг.к=1

r (t)+F_k+1(t+1), (C)

F_k(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7 +30, (C)

F₁(1)= max =37

10-13+8+31, (3)

Результаты вычислений приведены в табл. 7, в которой k- год эксплуатации, t -возраст оборудования.

Таблица 7

Т К	1	2	3	4	5	6
1	37
2	31	30
3	26	24	23
4	20	19	17	16
5	14	13	12	11	10
6	7	7	6	6	5	5

На третьем году эксплуатации произведена замена оборудования.

Безусловная оптимизация.

При k=1 mах F₁(1) =37, этот результат достигается, если не производить замену. Тогда t₂=t₁+1=1+1=2. При k=2 t₃=t₂+1=2+1=3. Как было видно из процесса условной оптимизации, замена должна производиться на третьем году эксплуатации (k=4) возраст нового оборудования t₄=1. Далее соответственно при k=5 t₅=t₄+1=2, при k=6 t₆=t₅+1=3. Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.

Что Вы должны знать:

(вопросы для самоконтроля

1. Как формулируется задача динамического программирования?

2. В чем заключаются особенности математической модели?

3. Что лежит в основе метода ДП?

4. Как выглядит рекуррентное соотношение Беллмана для модели оптимального распределения инвестиций?

5. Что является переменной управления и переменной состояния в задаче выбора оптимальной стратегии обновления оборудования?

6. Как выглядит рекуррентное соотношение Беллмана для модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования?

Пример для закрепления:

Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования за 5 лет, если годовой доход R(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста даны в таблице 8. Стоимость нового оборудования Р=20, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

Таблица 8

T	0	1	2	3	4	5
R(t)	10	9	8	7	6	5
S(t)	19	18	17	16	15	14