
- •Введение
- •1.Основные понятия и принципы моделирования Определение моделирования
- •1.1. Принципы построения математических моделей
- •Обобщенная математическая модель
- •1.2. Оценка эффективности стратегий
- •1.3. Классификация задач исследования операций
- •1.4. Модели выбора решений в условиях определенности
- •2. Математическое программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования.
- •Формы записи задач линейного программирования
- •Решение задачи лп графическим методом :
- •Геометрическая интерпретация и графический метод решения задачи линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •2.1.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •2.1.2Алгоритм симплекс метода отыскания оптимального решения задачи линейного программирования
- •2.1.3Примеры решения задач симплексным методом Пример 1. Найти максимум целевой функции
- •§4. Решение задачи лп двухфазным симплекс-методом
- •2.1.4 Задачи для закрепления полученных знаний
- •2.1.5. Двойственная задача
- •2.1.6Основные теоремы двойственности
- •2.1.7. Транспортная задача
- •2.1.8. Первоначальное распределение поставок
- •2.1.9. Правило "Северо-западного угла"
- •2.1.11. Метод потенциалов.
- •2.2. Модели динамического программирования
- •2.2.1. Постановка задачи динамического программирования
- •2.2.2. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
- •2.2.3. Оптимальное распределение инвестиций
- •2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
- •2.3. Сетевое моделирование. Методы и модели теории графов и сетевого моделирования
- •2.3.1. Элементы теории графов
- •2.3.2. Сетевое планирование и управление
- •2.3.3. Основные понятия и терминология, используемые в сетевом планировании
- •2.3.4. Порядок построения сетевых графиков
- •2.3.5. Правила построения сетевого графика.
- •2.3.6. Основные понятия сетевого графика
- •2.3.7. Временные параметры сетевых графиков
- •3. Задачи в условиях неопределенности
- •3.1. Системы массового обслуживания
- •3.1.1. Структура простейшей системы массового обслуживания.
- •3.1.2. Система массового обслуживания с отказом. Одноканальная система.
- •3.1.3. Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •Имитационное моделирование
- •3.2.1. Основы имитационного моделирования
- •3.2.2. Метод статистических испытаний
- •3.2.3. Формирование случайных чисел на эвм
- •3.3. Модели прогнозирования. Задачи управления запасами
- •3.3.1.Основные понятия управления запасами
- •3.3.2. Классификация моделей управления запасами
- •3.3.3. Складская система
- •3.3.4. Спрос на товары
- •3.3.5. Возможность пополнения запасов
- •3.3.6. Затраты на функционирование системы управления запасами
- •3.3.7. Стратегия управления запасами
- •3.3.8. Основные детерминированные модели. Простейшая модель управления запасами ( модель 1)
- •3.3.9. Модель с учетом дефицита (модель 2)
- •С помощью этих соотношений исключим т1, т2, т и получим
- •Оптимальное значение
- •График зависимости уровня запаса на складе от времени
- •Методы и модели теории игр
- •3.4.1. Основные понятия теории игр
- •3.4.2. Постановка игровых задач
- •3.4.3. Методы решения игровых задач
- •3.4.4. Метод линейного программирования
- •Литература
§4. Решение задачи лп двухфазным симплекс-методом
Двухфазный симплекс-метод (или. метод искусственного базиса) применяется в тех случаях, когда и задаче ЛП в канонической форме затруднительно определить н.д.б.р. с помощью эквивалентных преобразований (привести систему ограничений к диагональному виду).
Пример 7. Следующую задачу ЛП решить двухфазным симплекс-методом:
min f(x)=x1-x2+1 (13)
при ограничениях
(14)
x1, x2, x3≥0 (15)
Первая фаза (цель: при- помощи искусственного базиса и симплекс-метода определить базисные переменные из числа исходных переменных).
В систему (14) вводим искусственные переменные x3≥0, x5≥0, x6≥0 (предварительно умножив обе части второго неравенства на -1), новую целевую функцию как сумму всех искусственных переменных, а старую присоединяем к ограничениям:
min z(x) = x4 + x5 + x6 (16)
при ограничениях
(17)
Искусственные переменные x4, x5, x6 выбираем в качестве базисных, а все остальные x1, x2, x3 - небазисных. По правилу симплекс-метода исключаем базисные переменные из целевой функции (16) (при помощи уравнений системы (17), содержащих эти переменные):
z(x)= -2 x1 - 15 x2 - 5 x3 + 15
или, что все равно
z(x)+2x1+15 x2+5 x3=15 (19)
Начальное д.б.р.
x0=(x10, x20, x30, x40, x50, x60)=(0, 0, 0, 1, 3,11)
называется искусственным базисом. При помощи этого базиса, и выражений (19), (17) строим начальную симплекс-таблицу I-ой фазы.
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
z |
15 |
2 |
15 |
5 |
0 |
0 |
0 |
f |
1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
(1) |
3 |
1 |
0 |
0 |
x5 |
3 |
-1 |
3 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
x3 |
11 |
1 |
11 |
3 |
0 |
0 |
1 |
До конца I фазы роль нулевой строки играет строка для z, все остальное как в симплекс-методе (см. примеры 5,6). Следует только заметить, что строка для f не участвует в выборе ведущей строки.
Из (16) видно, что min z(x) = 0 и достигается при x4= x5 = x6=0, те, задача (16)-(18) будет решена, если все искусственные переменные будут вытеснены из базиса, а z=0. Это и будет означать конец первой фазы и переход ко второй фазе.
Обратите внимание, что в первой таблице ведущей может быть любая из последних трех строк (предвестник зацикливания). В таких случаях можно выбрать любой из них - выберем первую строку.
Так как искусственная переменная x4 выходит из базиса, то соответствующий столбик в дальнейшем можно исключить.
В результате соответствующих преобразований получим вторую симплекс-таблицу.
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
z |
0 |
-28 |
0 |
-40 |
0 |
0 |
f |
0 |
-3 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
x2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
x5 |
0 |
-7 |
0 |
-10 |
0 |
1 |
x6 |
0 |
-21 |
0 |
-30 |
0 |
0 |
Из таблицы следует, что min z достигнут, однако искусственные переменные x5 и x6 еще не выведены из базиса. В такой ситуации правила симплекс-метода "не работают" (т.к. ввиду отсутствия в нулевой строке положительных оценок нельзя выбрать ведущий столбик). Задача здесь одна - вывести оставшиеся искусственные переменные из базиса. Выведем сначала x5. Умножим все элементы этой строки на -1 (что допустимо, т.к. в нулевом столбике стоит 0). Введем в базис вместо x5 переменную x1. С этой целью строку для x5 поделим на 7 и с "ведущим элементом" 1 выполним элементарные преобразования (как в симплекс-методе). В результате получим таблицу:
|
x1 |
x2 |
x3 |
x6 |
|
z |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
f |
0 |
0 |
0 |
9/7 |
0 |
x2 |
1 |
0 |
1 |
1/7 |
0 |
x1 |
0 |
1 |
0 |
10/7 |
0 |
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Остается в базисе еще x6. Ее из числа базисных вывести нельзя, так как все элементы таблицы равны нулю, кроме 1 в столбике для x6. Это говорит о том, что в системе (14) третье уравнение было "лишним" и потому последнюю строку таблицы можно вычеркнуть. Действительно, третье уравнение в (14) является линейной комбинацией первых двух (оно получается вычитанием второго уравнения, умноженного на 3, из первого уравнения, умноженного на 2),
Вычеркивая столбик для x6 и строку для z приходим к таблице,
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
f |
0 |
0 |
0 |
9/7 |
x2 |
1 |
0 |
1 |
1/7 |
x1 |
0 |
1 |
0 |
10/7 |
содержащей только элементы исходной задачи (13)-(15) и с базисными переменными из числа исходных переменных.
Таким образом, задача I фазы выполнена.
Вторая фаза (цель: применяя обычный симплекс-метод к полученной в результате I фазы таблице, получить оптимальное решение исходной задачи).
Д.б.р. для последней таблицы есть
x0=(0, 1, 0)
Заметим, что это вырожденное д.б.р., так как в нем базисная переменная x1 - 0. То есть здесь мы можем получить зацикливание.
В качестве упражнения II фазу предлагается сделать самостоятельно.
Теперь можно привести алгоритм двухфазного симплекс-метода:
1) привести задачу ЛП к канонической форме;
2) ввести в ограничения искусственные переменные и составить новую целевую функцию z;
3) исключить из новой целевой функции все искусственные переменные;
4) используя искусственные переменные в качестве базисных, построить начальную симплекс-таблицу;
5) использовать симплекс-метод, исключая из таблиц столбики для искусственных переменных по мере их выхода из базиса до тех пор, пока min z=0 и все искусственные переменные не будут выведены из базиса;
6) вычеркнуть строчку для z и перейти ко второй фазе;
7) во второй фазе, к таблице, полученной в результате первой фазы, применить симплекс-метод до тех пор, пока не найдется оптимальное решение исходной задачи или не выявится его отсутствие.
П р и м е ч а н и я к двухфазному симплекс-методу
1. Если в результате первой фазы окажется, что min z > 0, то система ограничений исходной задачи (в канонической форме) несовместна. Во всех остальных случаях первая фаза разрешима.
2. Если min z= 0 и в таблице остались искусственные переменные, то, используя элементарные преобразования, эти переменные следует вывести из числа базисных, а вместо них ввести исходные переменные (см. пример 7).
3. Пусть каноническая форма задачи ЛП получена с помощью слабых переменных. Применение двухфазного симплекс-метода упростится, если искусственные переменные ввести только в те ограничения, ж которых слабая переменная либо отсутствует (исходное ограничение-равенство), либо не может войти в базис (введена в ограничение со знаком минус).