Повторные испытания. Формула бернулли

1. Бросаются 3 игральные кости. Какова вероятность того, что выпадет одна шестерка?

2. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

3. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

4. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее четырех раз?

5. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятности того, что среди этих детей а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.

6. В урне 10 белых 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.

7. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

8. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.

9. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.

10. В лаборатории проводится серия из 400 опытов по обнаружению микроба в растворе. Вероятность появления микроба в каждом отдельном опыте равна 0,2. Найти вероятность того, что микроб будет обнаружен в 80 опытах.

11. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

12. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

13. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

14. Вероятность появления положительного результата в каждом из опытов равна 0,9. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

15. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

Указание. Задача сводится к отысканию параметра из уравнения е = 0,05.

Случайная величина и ее числовые характеристики

1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

2. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выражением: F(x)= Найти: а) коэффициент а; б) найти плотность распределения f(x); в) найти вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.

3. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	4	6	x3
P	0,5	0,3	p3

Найти: а) x₃ и р₃, зная, что М(Х) = 8; б) дисперсию D(X).

4. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули наугад 1 шар. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Требуется:

а) построить ряд распределения СВ X;

б) построить функцию распределения СВ X;

в) найти М(Х) и D(X).

5. Случайная величина X может принимать два возможных значения: x₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7; причем х₂ >x₁. Найти x₁ и х₂, зная, что М(Х) = 2,7 и D(X)=0,21.

6. Даны независимые случайные величины X и Y.

X	-1	0	1
P	0,2	0,5	0,3
Y	2	4
Р	0,3	0,7

Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин: а) X+Y; 6) 2X-3Y; в) X-Y + 5.

7. Случайная величина X задана функцией распределения Найти: а) параметры С и D; б) плотность распределения f(x); в) Р(Х < 0,2); г) Р(Х < 3); д) Р(Х 3); е) М(X); ж) D(X).

8. Случайная величина X задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).