6˚. Степенные ряды.

Пусть задана последовательность комплексных чисел и комплексное число а. Степенным рядом называют ряд следующей структуры :

, (5)

где z - любое комплексное число. Члены последовательности называют коэф- фициентами этого ряда. Подставляя в (5) различные значения z, мы будем получать различные числовые ряды. Каждый такой ряд может оказаться сходящимся или рас- ходящимся .Совокупность К тех z , при которых ряд (5) сходится, называют множе -ством сходимости этого ряда. Заметим, что z = а всегда принадлежит К : при z = а все члены ряда, кроме, может быть,с₀ , равны нулю; следовательно, ряд сходится, а его сумма равна с₀.

Пример 16. Рассмотрим ряд

Здесь При z = -i ряд сходится. Пусть z ≠ -i ; исследуем с помощью признака Даламбера сходимость ряда . Полагая a_k = будем иметь: . Согласно признаку Даламбера ряд сходится при всяком z ≠ -i ; значит, при тех же z ряд абсолютно сходится. Итак, сходится при всяком комплексном z ; множество сходимости К этого ряда есть вся комплексная плоскость С.

Пример 17. Рассмотрим ряд , где а – некоторое комплексное число. При z = а ряд сходится. Пусть z ≠ а. Заметим, что в этом случае, очевидно, k·|z-a| стремится к +∞, поэтому и Отсюда ясно, что при z ≠ а общий член рассматриваемого ряда не может стремиться к нулю, следовательно ряд расходится. Таким образом, множество сходимости К этого ряда содержит только одну точку а .

Пример 18. Рассмотрим ряд = 1 + . Все коэффициенты с_k этого ряда равны 1, а = 0. Из примеров 1 и 5 следует, что этот ряд сходится, если |z| < 1, и расходится, если |z| ≥ 1. Следовательно, множество сходимости К пред- ставляет собой круг радиуса 1 с центром в точке а = 0.

Bыясним структуру множества К в общем случае и укажем способы его отыс- кания.

Теорема 13. (Теорема Абеля ) 1) Пусть ряд (5) сходится при z = z′, где z′ - неко- торое комплексное число, отличное от а ; тогда он абсолютно сходится при всяком z , удовлетворяющем неравенству |z-a| < | z′-a|.

2) Пусть ряд (5) расходится при z = z″, где z″ ≠ а ; тогда ряд расходится при вся- ком z, удовлетворяющем неравенству |z-a| > | z″-a|.

► 1) Так как сходится, то последовательность являет- ся бесконечно малой ( свойство 2), 2˚) . Значит, она ограничена: существует М > 0 такое, что при всех целых k ≥ 0 . Пусть z удовлетворяет неравенству |z-a| < | z′-a|. Тогда , где . Ряд сходится ( пример 1, 1˚), следовательно, по первому признаку сравнения сходится ряд , т.е. абсолютно сходится.

2) Допустим противное : нашлось z₀ , | z₀-a | > | z″-a | , такое, что при z = z₀ ряд (5) сходится. Тогда по доказанному в 1) ряд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству |z-a| < | z₀ -a| . Число z″ этому неравенству удовлетворяет, значит, ряд сходится при z = z″ . Возникшее противоречие с условием теоремы доказывает ут- верждение 2). ◄

Теорема 14. ( О множестве сходимости степенного ряда ) Пусть задан степенной ряд (5). Справедливо одно из следующих трёх уиверждений:

1. ряд сходится при всех комплексных z ;

2. ряд сходится только при z = а;

3. существует положительное R такое, что ряд абсолютно сходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z-a | < R, и расходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z-a | > R .

► Рассмотренные выше примеры 16 и 17 свидетельствуют о том , что существуют ряды, для которых справедливы утверждения 1) или 2). Допустим, что для заданного ряда (5) ни один из этих двух случаев места не имеет. Тогда, очевидно, должны существовать отличные от а числа z′ и z″ такие, что при z = z′ ряд сходится, а при z = z″ он расходится. В силу утверждения 2) теоремы Абеля ряд расходится при всяком z, таком, что |z-a| > | z″-a| ; следовательно, для всякого z, принадежежащего множеству сходимости К рассматриваемого ряда, должно быть выполнено |z-a|≤ |z″-a| . Обозначим : R = . Так как z′ K , a z″ K, то, ясно, что |z′ – a| ≤ R ≤ |z″-a|, т.е. R – некоторое положительное число ( не ). Ясно также, что, ряд расходится при всяком z таком, что |z-a | > R. Пусть ζ удовлетворяет неравенству |ζ-a | < R. Так как R есть точная верхняя грань величины |z-a | по множеству К, в К найдется число z₀ такое, что |ζ - a| < |z₀ - a| ≤ R. Ряд сходится при z = z₀, значит, по теореме Абеля он абсолютно сходится при z = ζ. Но ζ – любое число, удовлетворяющее неравенству |ζ-a | < R. Таким обрзом, ряд абсолютно сходится при всяком z , |z-a | < R, и теорема доказана полностью. ◄

Геометрически утверждение 3) доказанной теоремы означает, что если множество сходимости ряда отлично от всей комплексной плоскости и не сводится только к точке а, то существует положительное число R такое, что ряд (5) абсолютно сходится при всяком z, лежащем внутри окружности радиуса R с центром в точ- ке а и расходится при каждом z вне этой окружности. Круг, ограниченный указанной окружностью называют кругом сходимости ряда (5). Что касается точек самой этой окружности, то в них различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни ряды сходятся в каждой ее точке, другие (например, ряд примера 18) расходятся во всех ее точках, наконец, может быть и так, что на этой окружности имеются и точки, в которых ряд сходится, и точки, в которых ряд расходится. Таким образом, в случае 3) множество сходимости К представляет собой круг сходимости, дополненный, быть может, всеми точками ограничивающей его окружности или частью ее точек .

Число R называют радиусом сходимости ряда (5). Это понятие распространяют и на случаи 1) и 2), полагая в случае 1) R равным +∞ , а в случае 2) равным нулю. Ясно, что для отыскания множества сходимости ряда важно знать его радиус сходимо- сти.

Теорема 15. ( О вычислении радиуса сходимости ) Пусть задан ряд (5), а R- его радиус сходимости. Пусть или , где r либо неотрицательное число, либо символ +∞. Тогда: 1) если 0 < r < +∞, то R = ; 2) если r = 0, то R = +∞; 3) если r = +∞, то R = 0.

► Рассмотрим случай . Воспользуемся признаком Даламбера. Положив a_k = , будем иметь:

1) Пусть 0 < r < +∞. По признаку Даламбера, если q < 1, где q = , то ряд сходится. Значит, этот ряд сходится при тех z, при которых вы- полнено |z-a| r < 1, т.е. |z-a| < . Если же q > 1, т.е. |z-a| > , то расхо- дится, причем его общий член не стремится к нулю ( см. доказательство признака Даламбера). Переходя теперь к ряду , заключаем , что этот ряд абсолют- но сходится, если |z-a| < , и расходится, так как его общий член не стремится к ну- лю, если |z-a| > . Значит, число есть радиус сходимости R ряда .

2) Пусть r = 0. Тогда введенное выше q равно нулю при любом z. Следователь- но, сходится при всех z С, а потому ряд сходится абсолют- но при всех z С .

3) Пусть r = +∞. Тогда введенное выше q равно +∞ при любом z, отличном от а; поэтому при z ≠ а общий член ряда не стремится к нулю ( см. доказа- тельство признака Даламбера). Отсюда ясно, что и общий член ряда не стремится к нулю при указанных z; следовательно, этот ряд расходится при всяком z, отличном от а.

В случае доказательство аналогично с той разницей,что оно опирает- ся на радикальный признак Коши. ◄

Пример 19. Рассмотрим степенной ряд , где λ - вещественное число. Найдем его радиус сходимости R. Имеем: r = . Значит, R = 1, и круг сходимости этого ряда – это единичный круг |z| < 1. Выясним поведение ряда в точках единичной окружности |z| = 1, т.е. при z = exp (iφ), 0≤ φ < 2π. Подставив такое z , получим ряд 1+ , рассмотренный выше в примерах 11,12 и 14. Основываясь на этих результатах, заключаем : при λ ≤0 ряд расходится во всех точках единичной окружности, при λ > 1 он абсолютно сходится во всех ее точках, если же 0 < λ ≤1, то ряд расходится в точке z = 1 (φ = 0) и условно сходит- ся в остальныхъ точках единичной окружности (0< φ < 2π).