Приведем доказательство этого равенства для функции, непрерывной на . Доказательство опирается на следующую теорему, которую можно найти в руководствах по математическому анализу.
Теорема
.
(Теорема
Вейерштрасса о приближении непрерывной
функции тригонометрическими многочленами)
Пусть функция f
непрерывна на сегменте [-π,π],
причем f
(-π
)= f(π)
. Тогда существует последовательность
тригонометриче- ских многочленов,
равномерно сходящаяся на [-π,π]
к функции f,
т.е.
Ниже приведено доказательство равенства Парсеваля.
► Зададим
.
Так как f
непрерывна на
,
по теореме Вейерштрасса существует
последовательность
тригонометрических многочленов ,
равномер но сходящаяся на
к f
. Найдется натуральное число
такое,
что для многочле- на
из
указанной последовательности на
справедливо неравенство
.
Для этого же многочлена имеем (см. выше
доказательство теоремы):
.
Таким образом, . Ввиду произ- вольности отсюда вытекает равенство Парсеваля. ◄
Литература
1. Аксёнов А.П. Математический анализ. ч.2. С-Пб.:СПбГТУ, 2004
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа , т. 1, -М.: Высшая школа, 1981.
3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа, -М.: Наука, 1989.
4. Рыжаков И.Ю. Математический анализ. Предел последовательности. Предел функции.
Непрерывные функции. С-Пб.: СПбГТУ, 2000 .
5. Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одного аргумента . С-ПБ.:
СПбГТУ, 2002.
6. Рыжаков И.Ю. Математический анализ. Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
С-Пб.: СПбГТУ, 2003.