4°. Признаки сходимости произвольных рядов

Здесь мы рассматриваем ряды, члены которых могут быть любыми вещественны- ми или мнимыми числами

Теорема 6. ( Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного ε можно было указать натуральное n _ε такое,что при всех натуральных n > n _ε и любых натуральных р справедливо неравенство .

► Сходимость числового ряда означает сходимость последовательности {S _n} его частичных сумм. Напомним формулировку критерия Коши сходимости последовательности : для того, чтобы последовательность {S _n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы

.

Не ограничивая общности можно считать, что m > n , т.е. что m = n + p , где р - некоторое натуральное число. Если n > n _ε, то подавно n + p > n _ε , поэтому напи- санную выше строчку можно заменить следующей, ей равносильной :

.

Заметим : ; Таким образом, из критерия Коши для последовательности {S _n} вытекает: ряд сходится тогда и только тогда, когда

,

что и требовалось доказать. ◄

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 11. Ряд называют гармоническим рядом. Покажем, что это расходящийся ряд. Пусть n - некоторое натуральное число; а p = n +2 . Рассмотрим В этой сумме n +2 слагаемых, причем - наименьшее из них ; поэтому Здесь n - любое натуральное число. Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < ½ . Тогда при всяком натуральном n и p = n +2 будет выполнено , а это означает, что для такого ε нельзя указать n _ε , которое удовлетвори- ло бы требованию критерия сходимости Коши . Значит, ряд расходится. ◄.

Критерий Коши редко удаётся применить для исследования конкретного числового ряда, так как трудно проверить выполнение его условия. Чаще обращаются к достаточным признакам сходимости и расходимости ряда. Например: если общий член ряда не стремится к нулю, ряд расходится. Ниже приведены теоремы, пред- ставляющие собой достаточные признаки сходимости.

Начнем с частного, но весьма важного для приложений случая – с рядов, которые принято называть знакочередующимися.

Пусть {a_k} – последовательность положительных чисел. Положим z_k = (-1) , и рассмотрим ряд , т.е. ряд . Ряды такой структуры и называют зна- кочередующимися.

Теорема 7. ( Признак Лейбница ) Пусть последовательность {a_k} строго убывает и стремится к нулю. Тогда ряд сходится; а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a₁.

► Пусть n – некоторое четное число: n = 2l , l N. В сумме S_2l сгруппируем слагаемые : S_2l = = (а₁ –a₂) + ( a₃ – a₄) + … +(a_2l-3 –a_2l-2 ) + (a_2l-1 –a_2l )

Так как {a_k} строго убывает,то разность в каждой из скобок положительна; значит, S_2l > 0 и S_2(l+1) > S_2l , т.е. последовательность {S_2l } - это строго возрастающая последовательность положительных чисел. Сгруппируем теперь слагаемые в сумме S_2l иначе : S_2l = a₁ – ( a₂ –a₃ ) – ( a₄ –a₅ ) - … - ( a_2l-2 –a _2l-1 ) – a_2l .

Отсюда ясно, что S_2l < a₁. Таким образом, строго возрастающая последовательность { S_2l } ограничена сверху числом a₁ ; значит, она сходится. Обозначим ее предел через S. Из свойств { S_2l } следует: 0 < S ≤ a₁

Покажем, что S есть сумма ряда , т.е., что S = lim S_n , где S_n = = . Пусть n – некоторое нечетное число : n = 2l –1 , l N. Заметим : S_2l-1 = = S_2l - a_2l → S, так как S_2l → S, а a_2l → 0. Таким образом, обе подпоследовательности { S_2l } частичных сумм с четными номерами и { S_2l-1 } частичных сумм с нечетными номерами сходятся к S; значит, вся последовательность {S_n} имеет тот же предел

Итак, рассматриваемый ряд сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a₁. ◄

Пример 12. Рассмотрим ряд , где λ – некоторое вещественное число. Это знакочередующийся ряд; здесь a_k = . Если λ ≤ 0 , последовательность {a_k} , очевидно, не стремится к нулю, и поэтому при таких λ рассматриваемый ряд расхо- дится. При λ > 0 последовательность {a_k} строго убывает и стремится к нулю; зна- чит, по признаку Лейбница ряд сходится.

В следующей теореме члены ряда - любые числа, быть может, и мнимые. Из

их модулей составим новый ряд ; члены этого ряда неотрицательны.

Теорема 8. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

► Зададим некоторое ε > 0. Так как сходится, в силу критерия Коши (свой- ство 1, 2˚ ) существует натуральное n_ε такое, что при всех n > n_ε и любых натураль -ных р справедливо . Ho при этих n и p .Следовательно, для ряда выполнены требования критерия Коши:

N N N ( n > n_ε ) ,

поэтому ряд сходится . ◄

Пример 13. Рассмотрим ряд , где φ и λ – вещественные числа. Так как │exp(ikφ)│= 1, то . Отсюда ясно, что при λ ≤ 0 общий член рассмат- риваемого ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится, а при λ > 1 ряд сходится ( см. пример 6), значит, сходится и рассматриваемый ряд. Его поведение при будет выяснено ниже с помощью признака Дирихле.

Для.доказательства признака Дирихле нужна лемма Абеля

Лемма Абеля. Пусть и - наборы комплексных чисел Обозначим: V_q= ; V = max { |V₁| , |V₂| , … , |V_p| } . Тогда :

1) 2) если u₁ ≥ u₂ ≥ … ≥ u_p > 0 , то .

► Заметим : V₁ = v₁, а при j = 2,3, …, p v_j = V_j – V_j-1. Значит,

Раскрыв здесь скобки и приведя затем подобные, получим равенство 1).

◄

Теорема 9. ( Признак Дирихле ) Пусть - невозрастающая последователь- ность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Обо- значим: В_р = . Если 1) и 2) существует М > 0 такое, что М при всех натуральных р, то ряд сходится.

► Покажем, что ряд удовлетворяет требованиям критерия Коши N N N ( n > n_ε )

Зададим ε > 0. По условию 1) , значит, найдется натуральное n _ε такое, что из k > n _ε следует . Пусть n и р – натуральные числа, причем n > n _ε. Имеем: , где u _j = a_n+j , v _j = b _n+j . Заметим: u₁ ≥ u₂ ≥ … ≥ u_p > 0 . Обозначим: V_q = , V = max { |V₁| , |V₂| , … , |V_p| }. Так как V_q = = B_n+q – B_q, то при любом натуральном q имеем : | V_q | ≤ | B_n+q| + |B_q| ≤ 2M . Значит, V ≤ 2M . В силу утверждения 2) леммы Абеля , т.е. | | ≤ 2М a_n+1. Отсю- да и из неравенствa следует : | | < ε . Таким образом, для произволь- но заданного ε>0 существует натуральное n _ε , удовлетворяющее требованию критерия Коши ; поэтому ряд сходится. ◄

Пример 14. Вернемся к рассмотрению ряда . Пусть 0 < λ ≤ 1. Ввиду 2π – периодичности exp(ikφ), достаточно рассматривать . При φ = 0 рас- сматриваемый ряд превращается в , который при 0 < λ ≤ 1 расходится ( пример 6). Пусть φ . При всяком k N положим где q = . Заметим: при 0 < λ ≤ 1 последовательность убывает и стремится к нулю; далее, при φ q отлично от единицы, поэтому B_p = , и, значит, |B_p| , где М от р не зависит. Таким образом, последовательности и удовлетворяют требованиям приз- нака Дирихле, значит, ряд , т.е. при 0 < λ ≤ 1 и φ сходится.

Теорема 10. ( Признак Абеля) Пусть - невозрастающая последовательность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Если схо- дится ряд , то сходится и ряд .

► Обозначим: . Заметим: {c_k} – невозрастающая бесконечно малая последовательность положительных чисел; {B_p} – последова- тельность частичных сумм сходящегося ряда, значит, это сходящаяся и потому огра- ниченная последовательность. По признаку Дирихле ряд , т.е. схо- дится. Но , а это означает, что ряд является суммой двух сходящихся рядов и . Следовательно ( свойство 5, 2˚ ), ряд сходится. ◄