2˚. Общие свойства числовых рядов

1.. ( Необходимое условие сходимости ) Если ряд .сходится, то его общий член стремится к нулю : z _k → 0 _.

► Пусть S _n = . Обозначим сумму ряда через S : S _n → S. При всяком n ≥2 , очевидно, z _n = S _n - S _{n -1} . Перейдем в этом равенстве к пределу ; так как последовательности имеют один и тот же предел S , получим : z _n → 0. ◄

Замечание. Обратное утверждение (если z _k → 0 , то сходится ) неверно. Действительно, для гармонического ряда имеем z _k → 0 , однако ряд расходится. Можно указать еще и на ряд , рассмотренный выше (см. пример 2 ): его общий член,очевидно, стремится к нулю, но ряд расходится.

2. ( Достаточное условие расходимости ) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

► Действительно, если общий член ряда не стремится к нулю, ряд не может оказаться сходящимся, так как общий член сходящегося ряда обязательно стремится к нулю. ◄

Пример 4. Выше ( см. пример 1) мы показали, что ряд сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| > 1. Рассмотрим случай |q| = 1. Имеем : при всяком натуральном k, поэтому последовательность заведомо не стремится к нулю; значит. при любом комплексном q, |q| = 1, рассматриваемый ряд расходится.

3. ( Умножение числа на ряд) Пусть заданы ряд и некоторое отличное от нуля число λ , вообще говоря , комплексное. Произведением числа λ на ряд называют ряд , где w_k = λz_k . Справаедливы утверждения: 1) ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся ; 2) если = S, то = λ S.

► Пусть n - некоторое натуральное число. Обозначим : . Очевидно, .Отсюда и из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями ( [3], п. 3.5) вытекает : 1) последовательности частичных сумм либо обе сходятся, либо обе расходятся ; 2 ) если ◄

4. ( Сложение рядав ) Ряд называют суммой рядов и . Справедливы утверждения: 1) пусть ряды сходятся, причем ; тогда сходится и , причем = ; 2) если один из рядов сходится, а другой расходится, то ряд расходится.

► Обозначим : Очевидно, . Из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями следует : 1) если последовательности частичных сумм сходятся, то сходится и их сумма - последовательность , причем S_n → →S’+S”; 2) если одна из последовательностей сходится , а другая расходится, то не может быть сходящейся последовательностью, значит, ряд расходится. ◄

Замечание. Если оба ряда расходятся, то их сумма, т.е. ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся рядом. Например, положим Тогда ряды расходятся ( см. пример 4) , а ряд сходится, так как каждый его член равен нулю.

5. Пусть задан ряд , а m - некоторое натуральное число . Ряд , где w_l = = z_m+l , т.е. ряд z_m+1+z_m+2+ …+ z_m+l + … = , называют остатком ряда . Справедливо утверждение: ряд и его остаток либо оба сходятся, либо оба расходятся.

► Для всякого натурального n введем обозначения : .Очевид- но, при любом натуральном p т.е. где А = = . Ввиду такой связи между последовательностями частичных сумм очевидно, что если сходится одна из них, то сходится и другая; если одна из них расходится, то другая не может быть сходящейся. ◄

6. Пусть и - последовательности вещественных чисел . Обозначим : z_{k =} x_k + i y_k , S_n= . Если ряды , сходятся, то их суммы обозначаем через S , и соответственно. Справедливы

утверждения: 1) ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда ; 2) если сходится, то S = + i .

► Заметим : S_n = S + i S . Утверждения 1) и 2) вытекают непосредственно из свойств последовательностей комплексных чисел. ◄