Пусть функция f (х) абсолютно интегрируема на [a,b]. Тогда функция определена на и абсолютно интегрируема на нем. Пусть ряд Фурье функции φ сходится на , а σ(t) – его сумма:

σ(t) = . Обозначим: S(x) = σ( ). Функция S(x) есть сумма тригонометрического ряда, сходящегося на [a,b]:

S(x) = . Выразим коэфициенты и через функцию f :

;

при всяком натуральном k

;

.

Теоремы 1,2, и 3, п.3, описывают поведение суммы ряда Фурье σ(t) в зависимости от свойств функции . Используя замену , нетрудно получить из этих теорем аналогичные утверждения, описывающие поведение суммы S(x) в зависимости от свойств функции f (х). Например, из теоремы Дирихле следует: пусть функция f (х) кусочно- монотонна и кусочно- непрерывна на сегменте [a,b]; тогда

1) для всякого х (a,b) S(x) =

2)

Замечание. Во всякой точке интервала (a,b), в которой f непрерывна, имеет место равенство f(х) = S(x).

Отметим особо случай, когда сегмент [a,b] симметричен относительно нуля: Замена отображает [-l,l] на , обратная замена имеет вид Тогда тригонометрический ряд, построенный описанным выше способом для функции f(х), абсолютно интегрируемой на [-l,l], будет выглядеть так:

, где , а при всяком натуральном k , .

Заметим ещё, что если f – чётная функция, то , а , так что тригонометрический ряд содержит только косинусы: . Если же f – нечётная функция,то а = , а , и ряд содержит только синусы: .

п.6. Ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом

Пусть функция f определена во всех точках сегмента , за исключением, быть может, точек x_j, j=0,1,2,…,l, и удовлетворяет требованию: интеграл существует. Такую функцию f будем называть функцией с интегрируемым на сегменте квадратом. Заметим, что функция с интегрируемым на сегменте квадратом, абсолютно интегрируема на . Действительно, из очевидного неравенства следует: , где , причем существует; по признаку Вейерштрасса f абсолютно интегрируема на . Полеэно ещё заме- тить, что не всякая абсолютно интегрируемая функция имеет интегрируемый квадрат. Например, : интеграл сходится, а - расходится.

Теорема 1. (Минимальное свойство коэффициентов Фурье)

Пусть f – функция с интегрируемым на квадратом, а

- я частичная сумма ряда Фурье этой функции. Тогда для всякого тригонометрического многочлена порядка не выше n справедливо неравенство

.

► Рассмотрим , где T_n (x) . Имеем: = -2 + .

= =

= + = . Вычисляя , учитываем равенства леммы п.2:

= .

Теперь получим:

= - 2 + + = + . Каждую из разностей дополним до полного квадрата:

= + - . От коэффициентов многочлена зависит только выражение в квадратных скобках; это выражение неотрицательно и обращается в нуль, когда коэффициенты многочлена совпадают с соответствующими коэффициентами Фурье функции f : , т.е. в случае = . Значит, = . ◄

Следствие. Если f – функция с интегрируемым на квадратом, то ряд сходится, причем справедливо неравенство (неравенство Бесселя)

.

► При всяком натуральном n имеем:

= . Отсюда: всяком натуральном n . Перейдя здесь к пределу при , докажем и сходимость ряда , и неравенство Бесселя. ◄

На самом деле для всякой функции f, квадрат которой интегрируем на , можно доказать равенство Парсеваля или уравнение замкнутости:

.