§ 4. Ряды Фурье

1 . Абсолютно интегрируемые функции

Пусть функция f определена на промежутке [a,b), a<b, ограниченном или не- ограниченном и интегрируема на сегменте [a,x] при всяком х, a<х <b. На всем проме- жутке [a,b) такая функция может оказаться как интегрируемой, так и неинтегрируемой. В первом случае - определенный интеграл, во втором ( когда либо b особая точка для f , либо b = +∞) - несобственный, сходящийся или расходящийся. Будем го- ворить, что интеграл существует, если он является либо определённым интегралом, либо сходящимся несобственным интегралом. Отметим справетливость следующих утверждений:

1) Существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел ;

2) если существует, то = .

Теорема 1. Если существует, то существует и .

► Пусть и - неотрицательные составляющие функции f . Тогда | f | = = , и при всяком х, a< х <b, имеем: = + ; отсюда, так как и неотрицательны, вытекают неравенства ≤ и ≤ , справедливые при всяком х, a<х <b. Кроме того, при тех же х ≤ . Таким образом, каждый из интегралов с переменным верхним пределом и не убывает на [a,b) и ограничен сверху числом ; значит, существуют пределы и . Тогда суще- ствует и предел = , т.е. интеграл схо- дится.◄

Определение 1. Функцию f назовём абсолютно интегрируемой на [a,b), если интеграл существует (т.е. является либо определенным интегралом, либо сходящимся несобственным).

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g интегрируемы на всяком сегменте [a,x], где a<х <b. Если 1) при всех |f(x)| ≤ g(x) (следова- тельно, g неотрицательна на [a,b) ) и 2) существует, то f абсолютно интегри- руема на [a,b).

► Из 1) следует: при всех . Так как g не- отрицательна на [a,b), то ≤ . Следовательно, при всех , т.е. не убывающая на [a,b) функция ограничена сверху числом . Значит, существует , а это означает, что существует ; поэтому f абсолютно интегрируема на [a,b).◄

Пусть функция f определена на промежутке (a,b], a<b, ограниченном или неограниченном и интегрируема на сегменте [x,b] при всяком х, a< х <b. Для такой функции и - либо определенные интегралы (когда f интегрируема на ограниченном (a,b], либо несобственные, сходящиеся или расходящиеся ( когда а – особая точка для f или a = -∞) . Если сходится, то сходится и - доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1 .

Определение 2. Функцию f назовём абсолютно интегрируемой на (a,b], если интеграл существует.

Теорема 3. (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g интегрируемы на всяком сегменте [x,b], где a< х <b. Если1) при всех |f(x)| ≤ g(x) и 2) существует, то f абсолютно интегрируема на (a,b]

Доказательство здесь аналогично доказательству теоремы 2.

Пусть функция f определена на интервале (a,b), a<b, ограниченном или неогра- ниченном и интегрируема на всяком сегменте, содержащемся в (a,b). Тогда интегралы и - либо определенные ( когда (a,b) ограничен, а f интегрируема на нем), либо несобственные, сходящиеся или расходящиеся ( когда хотя бы один из концов a и b является особой точкой для f или интервал (a,b) неограничен). Напомним: несобственный интеграл по (a,b) называют сходящимся, если су- ществуют интегралы и ( т.е. если либо оба они сходящиеся несобст- венные, либо один из них определенный интеграл, а другой – сходящийся несобствен- ный); здесь с – точка, произвольно выбранная на (a,b). Из изложенного выше ясно: если существует, то существует и .

Определение 3. Функцию f назовём абсолютно интегрируемой на (a,b), если интеграл существует.

Теорема 4 (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g интегрируемы на вся- ком сегменте, содержащемся в (a,b). Если 1) при всех |f(x)| ≤ g(x) и 2) существует, то f абсолютно интегрируема на (a,b).

Это утверждение непосредственно вытекает из теорем 2 и 3.

Пусть - произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f определена во всех точках этого промежутка, за возможным исключе- нием нескольких точек x_j , j=0,1,2,…,l, где . - в них f может быть определена, но не обязательно. Потребуем, чтобы f была интегрируема на любом сегменте, который лежит на и не содержит ни одной из точек x_j , j=0,1,2,…,l. Тогда каждый из интегралов от функции f по интервалам (x_j-1,x_j), j =1,2,…,l, является либо определенным интегралом, либо несобственным, сходящимся или расходящимся. Символом обозначим интеграл от функции f по промежутку , опреде- лив это понятие как сумму интегралов по интервалам (x_j-1,x_j), j =1,2,…,l : = . Интеграл назовем определенным, если все слагаемые в этой сумме являются определенными интегралами. и несобственным, если хотя бы одно слагаемое представляет собой несобственный интеграл. Несобственный интеграл назовем сходящимся, если сходятся все несобственные интегралы, входящие в сумму ; в противном случае, т.е. когда среди слагаемых имеется хотя бы один расходящийся интеграл, будем говорить, что расходится. Будем гово- рить, что интеграл существует, если он являетя либо определенным, либо схо- дящимся несобственным интегралом. Иными словами, интеграл существует, если существуют все интегралы , j=0,1,2,…,l. Ввиду изложенного выше ясно: если существует , то существует и .

Определение 4. Функцию f, удовлетворяющую на сформулированным выше условиям, назовем абсолютно интегрируемой на , если существует.

Отметим, что функция, абсолютно интегрируемая на промежутке [a,b), (a,b] или (a,b) ( см. определения 1,2,3), удовлетворяет и определению 4; в этих трех случаях можно считать, что набор состоит из двух точек а и b.

Теорема 5 (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g удовлетворяют на сформулированным выше условиям. Если 1) при всех (x_j-1,x_j), j =1,2,…,l, |f(x)| ≤ g(x) и 2) существует , то f абсолютно интегрируема на .

Это утверждение является следствием теорем 2,3,4.

п.2. Тригонометрический многочлен. Тригонометрический ряд

Пусть n – натуральное число, а и - заданные вещественные числа. Обозначим : . называют тригонометрическим многочленом порядка не выше n, числа и - его коэффициентами, и - его старшими коэффициентами. Если хотя бы один из старших коэффициентов отличен от нуля, называют тригонометрическим многочленом порядка n. Оче- видно, есть 2π – периодическая функция, непрерывная на всей числовой оси.

Пусть заданы две последовательности вещественных чисел и . Функцио- ональный ряд , где , а при всяком натуральном , называют тригонометрическим рядом. Выражение назовём n – ой частичной суммой тригонометрического ряда; очевидно, представляет собой тригонометрический многочлен порядка не выше n. Если тригонометрический ряд сходится на некотором промежутке , то он сходится на всяком промежутке вида , где р – целое число. Если он сходится на сегменте [-π,π], то он сходится на всей числовой оси, а его сумма есть 2π – периодическая функция. Если ряд равномерно сходится на [-π,π], то - непре- рывная 2π – периодическая функция.

Лемма. При любых целых p и q

Для доказательства этих равенств нужно преобразовать подынтегральные произ- ведения в суммы.

Теорема 2. (О коэффициентах равномерно сходящегося тригонометрического ряда) Пусть тригонометрический ряд равномерно схо- дится на [-π,π] , а - его сумма. Тогда

при

► На сегменте [-π,π] справедливо

(1) Проинтегрируем это равенство. Так как равномерно сходящийся ряд можно интегриро- вать почленно, получим:

Отсюда: Пусть р – заданное натуральное число. Умножим (1) на cospx и проинтегрируем полученное равенство. Учитывая равенства леммы, получим:

Отсюда: Аналогично, умножив (1) на sinpx, докажем равенство . ◄

п.3. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье функции, абсолютно

интегрируемой на

Пусть функция f определена во всех точках сегмента , за исключением, быть может, точек x_j, j=0,1,2,…,l, (они могут быть осо- быми точками для функции f ) и абсолютно интегрируема на . Заметим,что при любом натуральном k существуют интегралы и . Дейст- вительно, при всех имеем |f(x) coskx| ≤ g(x), где g(x) = |f(x)|, причем существует, так как f абсолютно интегрируема на . В силу признака Вейерштра- сса f(x) coskx абсолютно интегрируема на ; значит, существует. Существование устанавливается аналогично.

Введем обозначения:

при . Числа и называют коэффициентами Фурье функции f ; триго- нометрический ряд называют рядом Фурье этой функции.

Замечание. Если тригонометрический ряд равномерно сходится на , а S(x) – его сумма, то коэффициенты ряда являются коэффициентами Фурье функции S(x) ( см. теорему 2, п.2).

Пусть ряд Фурье функции f сходится на некотором множестве Х . Тогда на Х определена функция S(x) – сумма ряда Фурье и, значит, на этом множестве определены две функции : f(х) и S(x). Вообще говоря, они различны между собой. Если же на множестве Х f(х) и S(x) совпадают, то говорят что функция f разлагается на множестве Х в ряд Фурье и при этом записывают: f(х) =

Приведем формулировки основных теорем о достаточных условиях разложимо- сти функции на в ряд Фурье. Сначала введем в употребление следующие определения.

Пусть -ограниченный промежуток, а , - набор некоторых точек. Сформулированные ниже определения касаются функций, которые определены во всех точках этого промежутка, за возможным исключением точек x_j , j=0,1,2,…,l, - в них рассматриваемые функции могут быть опре- делены, но не обязательно.

Определение 1. Будем говорить, что функция f кусочно-монотонна на , если f монотонна ( т.е. либо не убывает, либо не возрастает) на каждом из интервалов X_j =(x_j-1, x_j), j=1,2,…,l .

Определение 2. Будем говорить, что функция f кусочно-непрерывна на , если

1. f непрерывна на каждом из интервалов X_j =(x_j-1, x_j), j=1,2,…,l;

2. в каждой из внутренних точек x_j, j= 1,2,…,l-1, cуществуют односторонние пределы f(x_j-0) и f(x_j+0);

3. существуют f(a_j+0) и f(b_j-0).

Заметим, что в точках x_j , j=0,1,2,…,l кусочно – непрерывная функция может быть не определена; если же она определена в точке x_j , то её значение f (x_j ) может не совпадать с её односторонними пределами в этой точке. Кусочно-непрерывная на функция ограничена на и либо непрерывна на этом промежутке, либо имеет на нем конечное количество точек разрыва первого рода. Значит, и | f | обладает на такими же свойствами, и потому | f | интегрируем на . Таким образом, кусочно- непрерывная на функция абсолютно интегрируема на .

Определение 3. Функцию f назовём кусочно-гладкой на промежутке , если она имеет на этом промежутке кусочно- непрерывную производную.

Теорема 1. (Теорема Дирихле) Пусть функция f кусочно- монотонна и кусочно- непрерывна на сегменте . Тогда её ряд Фурье сходится в каждой точке этого сег- мента, а для его суммы S(x) справедливы утверждения:

1. при всяком S(x) = ;

2. S(-π) = S(π) = .

Замечание. Во всякой точке интервала , в которой f непрерывна, имеет место равенство f(х) = S(x).

Следствие. Если функция f кусочно –монотонна и непрерывна на и удовлетворяет условию f(-π) = f(π), то она разлагается на этом сегменте в ряд Фурье.

Теорема 2. Пусть функция f 1) абсолютно интегрируема на сегменте , 2) в каждой точке интервала существуют односторонние производные и , 3) существуют односторонние производные и . Тогда ряд Фурье этой функции сходится на , а для его суммы S(x) справедливы утверждения:

1) если , то S(x) = ;

2. S(-π) = S(π) =

Замечание. Функция , кусочно- гладкая на , удовлетворяет требованиям этой теоремы.

Теорема 3. Функция f , непрерывная и кусочно- гладкая на сегменте и удовлетворяющая условиям f(-π) = f(π), (-π) = (π) разлагается на этом сегменте в ряд Фурье, равномерно сходящийся на .

Доказательства этих теорем здесь опущены из-за их громоздкости.

п.4. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье

Пусть функция f и её производная абсолютно интегрируемы на и , кроме того, f(-π) = f(π). Запишем ряды Фурье этих функций:

f(х) ; (х) . Здесь символ означает, что тригонометрический ряд представляет собой ряд Фурье соответствующей функции; при этом не предполагается, что функция разлагается в этот ряд, не предполагается даже, что этот ряд сходится. Запишем выражения для коэффициентов Фурье производной :

при . Пусть функция такова, что к этим интегралам применима формула интегрирования по частям ( например, непрерывна на .). Тогда, учитывая равенство f(-π) = f(π), получим:

;

;

Таким образом, ряд Фурье для производной выглядит так:

(х)

Легко заметить, что этот ряд можно получить, произведя формальное почленное дифференцирование ряда Фурье функции f. Этим обстоятельством пользуются, если известен ряд Фурье функции и требуется записать ряд Фурье производной этой функ- ции. Обратим еще раз внимание на то, что при этом вопрос о раздожимости производ- ной в ряд Фурье остаётся открытым и требует дополнительного исследования.

Теорема 1. (О почленном интегрировании ряда Фурье) Пусть функция f непре- рывна на и удовлетворяет условию f(-π) = f(π), а - её ряд Фурье. Тогда при всяком справедливо равенство

причем ряд в правой части сходится равномерно на .

► Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом:

. Эта функция непрерывна на , причем , так как

=

= Функция F имеет на . непрерывную призводную: , причём, очевидно, . В силу теоремы 3 F разлагается на в равномерно с ходящийся ряд Фурье:

.

Найдем коэффициенты этого ряда. При натуральных k , интегрируя по частям, получим:

=

= - Аналогично: Таким образом, при всяком х

. Положим здесь х =0 :

0 = . Отсюда: Значит,

Отсюда: ◄

п.5. Ряды Фурье в случае произвольного промежутка

Пусть [a,b], a<b, - некоторый сегмент. Функция , где , возрастает на [a,b] и отображает этот сегмент на . Обратная функция возрастает на от a до b.