Санкт-Петербургский Государственный Политехнический университет

Автор

Рыжаков Игорь Юрьевич

Числовые и функциональные

ряды

Методичка

Санкт-Петербург, 2003 г.

Оглавление

Стр.

§1. Числовые ряды

1˚. Основные понятия …………………………………………………… 3

2˚. Общие свойства числовых рядов …………………………………… 4

3˚. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами ……… 6

4˚. Признаки сходимости произвольных рядов ……………………….. 12

5˚. Абсолютно сходящиеся ряды ………………………………………. 17

6˚. Степенные ряды ……………………………………………………… 22

§2. Функциональные последовательности и ряды

1˚. Последовательности функций ……………………………………… 25

2˚. Равномерно сходящиеся последовательности функций ………….. 26

3˚. Функциональные ряды ……………………………………………… 28

4˚. Равномерно сходящиеся функциональные ряды …………………. 29

§3. Ряды Тейлора

1˚. Вещественные степенные ряды …………………………………… 32

2˚. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. …………………………. 35

§4. Ряды Фурье

1˚. Абсолютно интегрируемые функции …………………………….. 39

В математике рядом называют бесконечную сумму, т.е. сумму, множество слагаемых которой бесконечно. Эта формулировка не является корректным определением понятия, но все же она создает достаточно верное общее представление о нем. Если каждое слагаемое такой суммы есть число, вещественное или комплексное, ее называют числовым рядом; если же слагаемые представляют собой функции, то ее называют функциональным рядом.

§ 1. Числовые ряды.

1º. Основные понятия.

Пусть {z _k} - некоторая последовательность чисел, вообще говоря, комплексных . Рассмотрим последовательность {S _n}, где S ₁ = z ₁ , а при любом натуральном n > 1 S _n = z ₁ + z ₂ + … + z _n . Последовательность {S _n} может оказаться либо сходящей- ся, либо расходящейся.

Пусть последовательность {S _n} сходится, а число S есть ее предел : lim S _n = S . Будем говорить в этом случае, что числовой ряд

z ₁ + z ₂ + … + z _k + … ( 1 )

сходится, а число S назовем суммой этого ряда. Члены последовательности {z _k} назовем членами ряда (1) ; S _n назовем его n – ой частичной суммой .

Замечание. Хотя число S и называют суммой, на самом деле оно не является суммой в привычном понимании этого термина, согласно которому сумма - это результат сложения некоторого конечного количества слагаемых. Суммой является. например, всякий член последовательности {S _n}, начиная с S ₂ . Но сложить беско- нечное множество членов ряда невозможно, и число S представляет собой результат другого математического действия – предельного перехода, примененного к после- довательности сумм {S _n}.

Для обозначения ряда (1) мы обычно будем пользоваться символом ,а также упрощенным символом . В этих символах z _k называют общим членом ряда. Если ряд сходится, а S является его суммой,т.е. если lim S_n = S, будем записывать: = S.

В случае, когда последовательность {S _n} расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится; суммы такой ряд не имеет. Однако, если S _n → + ∞ или S _n → - ∞ , принято говорить. что сумма расходящегося ряда (1) равна + ∞ или - ∞ соответственно.

Пример 1. Пусть q – некоторое комплексное число; положим при вском натуральном k z _k = q и рассмотрим ряд = 1 + q + q +…+ q +... ( его члены обра- зуют геометрическую прогрессию). И меем: S _n = 1 + q + +q + … + q = . Если |q| < 1, то → 0 и, значит, S _n ; если же |q | > 1, то q → ∞ и , следова- тельно, S _n . Итак, при |q| < 1 рассматриваемый ряд сходится, его сумма равна

; при |q | > 1 ряд расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд . Здесь z _k = , S_n = = = ln2 + ( ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + ( ln n – ln(n-1)) + + ( ln(n+1) – ln n ) = ln (n+1). Очевидно, S _n→ +∞ . Значит, ряд расходится, его сумма равна + ∞.

Пример 3. Пусть z _k = , S _n = 1 – 1 + … …+ (-1) . При четных n эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице ; значит, последовательность {S _n} частичных сумм ряда не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.