§ 2. Определенный интеграл
2.1. Площадь плоской фигуры
В этом пункте термин “плоская фигура” или“фигура” означает некоторое множе- ство точек плоскости. Плоскую фигуру называют ограниченной, если можно указать по- ложительное число М такое, что расстояние между любыми двумя точками фигуры не превышает М. Ниже все фигуры предполагаются ограниченными. Две фигуры называют конгруентными, если существует движение плоскости (т.е. взаимно однозначное отобра- жение плоскости на себя, не меняющее расстояний между точками), при котором одна из фигур отображается на другую.
Площадь
фигуры F
обозначаем
через
.
Напомним основные свойства ( акси- омы)
площади.
Аксиома 1. (Неотрицательность площади ) Площадь фигуры есть неотрицатель- ное число.
Аксиома 2. (Аддитивность площади) Площадь обьединения двух непересекаю- щихся фигур равна сумме их площадей.
Аксиома 3. (Инвариантность площади) Площади конгруентных фигур одинако- вы.
Аксиома 4. (Нормированность площади) Площадь единичного квадрата,т.е. квад- рата, длина стороны которого равна единице, равна единице.
Теоремы 1 и 2 о свойствах площади являются следствиями аксиом.
Теорема 1. (Монотонность площади) Если фигура F1 содержится в фигуре F2 , то площадь F1 не превышает площади F2.
► Обозначим:
.
Так как
,
то
,
причем
и
не пересекаются. В силу аксиомы 2. имеем:
σ(F2)
= σ(F1)
+ σ(F)
. По
аксиоме 1 σ(F)
;
значит,
σ(F2)
σ(F1).
◄
Площадь пустого множества λ равна нулю. Заметим, что площадь непустого мно- жества может равняться нулю.
Пример
1. Площадь
ограниченного отрезка прямой равна
нулю. Действительно, пусть F
– прямолинейный
от- резок длины l
, а ε
– некоторое
положительное число. Обо- значим через
П ε
прямоугольник с измерениями
l
и
,
содержащий отрезок F
( Рис. 1). Так
как
П ε ,то
σ(F)
≤ ≤ σ(П
ε
), т.е. 0 ≤
σ(F)
≤ ε. Но здесь
ε – любое
положительное число; значит, σ(F)
= 0.
Теорема 2. ( Субаддитивность площади) 1) Площадь обьединения двух фигур не превышает суммы их площадей. 2) Если площадь пересечения двух фигур равна нулю, то площадь их обьединения равна сумме площадей этих фигур.
► Обозначим:
.
Имеем (рис.2 ):
,
причём
В силу аксиомы 2.
=
σ(F1)
+ σ(F)
.
1)
Так
как
,
то
σ(F)
≤ σ(F2);
значит,
σ(
=
σ(F1)
+ σ(F)
≤
σ(F1)
+ σ(F2)
.
2)
Пусть 
.
Заметим:
,
при- чём
.
В силу аксиомы 2 σ(
=
σ(F)
+ σ(
)
. Отсюда:
σ(F)=
σ(
-
σ(
)
. Но σ(
)=
0; значит,
σ(F)=
= σ(
.
Теперь получим:
σ( = σ(F1) + σ(F) = σ(F1) + σ( . ◄
Замечание.
Таким образом,
равенство σ(
=
σ(F1)
+ σ(
имеет место не только в случае
непересекающихся фигур F1
и
,
оно справедливо и тогда, когда F1
и
пересекаются, но площадь их пересечения
равна нулю.
2.2. Точные грани ограниченной функции
Здесь мы рассматриваем функции, определеные на некотором множестве Х веще- ственных чисел. Функцию f называют ограниченной на множестве Х, если ограничено множество значений, принимаемых этой функцией на Х.
Пусть f
– функция, ограниченная на
множестве Х ,
.
Введём обозначения точной нижней и
точной верхней граней множества её
значений:
.
и
называют соответственно точной нижней
и точной верхней гранями функции f
на множестве Х .
Лемма. Пусть функции f и g ограничены на множестве Х. Тогда:
а) если
g = -f , то
;
б)
число
-
есть
точная верхняя грань множества значений
модуля разности
,
где
и
-
любая пара точек, принадлежащих Х :
-
=
;
в) пусть h = f + g; тогда
;
г) пусть h = f ∙ g; тогда
,
где С – число такое, что
на множестве Х |
|
≤ C и |
|
≤ C.
► а). Докажем
первое равенство. Для всякой точки
х
справедливо
≤
≤
.
Отсюда, т.к. f = - g , получим
и
;
следовательно, число
является нижней гранью множества
значений функции g. Точная нижняя
грань множества есть наибольшая из его
нижних граней; поэтому
.
С дру- гой стороны, для всякой точки
х
справедливо
;
отсюда получим
≥
и
.
Следовательно,
есть верхняя грань множества значений
функции f , а
есть наименьшая из его верхних граней;
поэтому
.
Таким образом, с одной стороны
,
а с другой
;
значит,
=
.
Доказательство равенства
аналогично.
б) Обозначим
через Е ножество значений разности
,
где
и
-
лю- бая пара точек, принадлежащих Х.
Обозначим : А =
-
.
Докажем: А= sup Е
. Равенство А = sup
Е
означает, во-первых, что А есть
верхняя грань множества Е
, т.е.
Е
и, во- вторых, что при любом ε
> 0 число А - ε
верхней гранью множе – ства Е не
является, т.е.
Е:
.
Убедимся, что число А этими свойствами
обладает.
1) При любых
и
,
принадлежащих Х, имеем:
,
;
отсюда:
≤
-
=
А, Значит, А есть верхняя грань
множества Е
.
2) Пусть задано
ε > 0. Так как
и
-
точные грани множества значений функции
f , в Х существуют
точки
и
такие, что справедливы неравенства
f(
)>
и f(
)
.
Обозначим:
.
Очевидно,
=
.
Таким образом, для всякого ε
> 0 можно указать принадлежащее Е
число
-
такое, что
>
;
эначит, при всяком ε
> 0 число
верхней гранью мно- жества Е
не является. Из 1) и 2) следует:
А – наименьшая из верхних граней
множества Е
, т.е.
.
Очевидно, множество Е симметрично относительно точки 0, поэтому sup Е =
=
.
Отсюда:
=
А =
-
в) Для
всякой точки х
,
очевидно, справедливо
.
Следовательно,
является нижней гранью множества значе-
ний функции h;
поэтому
,
так как
-
наибольшая из нижних граней. Доказательство
второго неравенства аналогично
.г) Функции
f и g
ограничены на множестве Х; значит,
найдётся С> 0, такое, что для любой
точки
Пусть
и
-
точки, принадлежащие Х. Легко
убедиться, что
.
Отсюда: для любых
и
,
принадлежащих Х ,
.
Тогда подавно
справедливо неравенство
(
+
). В силу утверждения
б) леммы это неравенство можно
записать так:
Таким образом,
число С
есть верхняя грань множества значений
;
поэтому
.
В силу утверждения б) леммы левая
часть этого неравенства равна
.
◄