1.6. Интегрирование тригонометрических функций

Алгебраическим многочленом степени n, , от k, , переменных называют сумму слагаемых вида , где – заданные числа, коэффициенты многочлена, а – целые неотрицательные числа, причём их сумма не превышает n:

.

Например:

.

Рациональной функцией от k переменныхï называют отношение двух алгебраических многочленов:

. Эта функция определена для тех значений , при которых отличен от нуля знаменатель . Заметим, что сумма, произведение и частное рациональных функций, а также их суперпозиция являются рациональными функциями.

В этом пункте рассмотрим интегралы вида , где – раци- ональная функция от двух переменных. Покажем, что подстановка является ра- ционализующей для интегралов указанного вида. Сначала получим выражения для , и :

;

По теореме о замене переменной интегрирования

. Здесь - суперпозиция рациональных функций и потому является рацио- нальной функцией; значит, интеграл в правой части равенства есть интеграл от рацио- нальной функции.

Пример 1. Вычислим .

• Это интеграл вида , где . Введем “новую ” переменную интегрирования t: . Получим:

. Таким образом, заданный интеграл преобразован в интеграл от рациональной дроби. Вычислив его, возвратимся к “старой ” переменной х:

Формула

справедлива на любом интервале числовой оси, не содержащем точек , где .

Подстановку называют универсальной, так как она преобразует любой интеграл вида в интеграл от рациональной функции. Укажем ещё три подстановки, которые являются рационализующими в описанных ниже частных случаях.

I. Если функция удовлетворяет условию , то под- становка является рационализующей для интеграла

II. Если функция удовлетворяет условию , то подстановка является рационализующей для интеграла .

III. Если функция удовлетворяет условию , то подстановка является рационализующей для интеграла .

Конечно, в каждом из этих трёх случаев можно применить универсальную под- становку , однако, как правило, она приводит к более громоздкому подынтег- ральному выражению, чем рекомендованные выше подстановки.

1.7. Интегрирование дифференциального бинома

Здесь мы рассмотрим интегралы вида ., где a и b – отличные от нуля вещественные числа, m, n и s – рациональные числа, также отличные от нуля, при- чём хотя бы одно из них не является целым. Подынтегральное выражение называют дифференциальным биномом. Такие интегралы удаётся преобразовать в интег- ралы от рациональных функций в трёх случаях.

I. .- целое число.

m и n – рациональные числа, т.е. , , где и – натуральные чис- ла, а и – целые. Обозначим через q общее наименьшее кратное чисел и . По- кажем, что подстановка является рационализующей в рассматриваемом случае.: За- метим: , где и - некоторые натуральные числа. Получим:

.

Здесь все показатели степени- целые числа; поэтому подынтегральная функция в последнем интеграле является рациональной функцией.

II . не является целым числом, но .- целое.

Пусть , где , , , . Новую переменную интегрирования t введем с помощью формулы . Из этого соотношения найдём: . Подынтегральное выражение предварительно преобразуем с целью создания удобств при переходе к новой переменной:

Теперь можем записать:

Последний интеграл является интегралом от рациональной функции, так как подынтег- ральная функция содержит t только в целых степенях.. А – константа, выражающаяся че- рез n, b и q.

III . и - дробные, но .-целое число.

Пусть так же, как в предыдущем случае, . Новую переменную интегрирова-

ния t введем с помощью формулы . Из этого соотношения найдём: . Подынтегральное выражение предвари- тельно преобразуем с целью создания удобств при переходе к новой переменной:

Теперь можем записать:

Подынтегральная функция последнего интеграла – рациональная, так как содержит t только в целых степенях. А – константа, выражающаяся через n, а и q.

Пример. Вычислим .

Подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином: , где , причём . Таким образом, имеет место случай III. Новую переменную интегрирова- ния t введем с помощью формулы . Из этого соотношения найдём: . Подынтегральное выражение предварительно преобразуем:

. Теперь получим:

.

.

Итак, . Это равенство справедливо на любом от- резке числовой оси, не содержащем точку 0.