1.2. Неопределённый интеграл
Пусть функция определена на промежутке Х, ограниченном или неограниченном
Определение. Неопределённым интегралом от функции на промежутке X на -зывают совокупность всех первообразных функции на этом промежутке.
Обозначают
неопределённый интеграл от функции
на
Х символом
.
Здесь символ
называют
интегралом, функцию
–подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением, x
– переменной интегрирования. Процедуру
отыскания неопределённого интеграла
называют
интегрированием функции
.
Пусть
есть первообразная функции
на X.
Тогда (см. следствие теоремы 1) множество
,где
С
принимает
всевозможные вещественные значения,
есть совокупность всех первообразных
функции
на X,
т.е.,
.
Написанное
равенство есть равенство между двумя
множествами - множеством всех пер-
вообразных функции
на X
и
множеством функций вида
.
Эти два множест- ва состоят из одних и
тех же функций. Обычно равенство между
указанными множества- ми записывают в
упрощённой форме:
на
X.
(1)
Пусть функции и F определены на промежутке Х, причём F дифференциру- ема на X. Равенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда F является первообраз- ной для на Х.:
.
(2)
Опираясь на (2) и на таблицу производных от элементарных функций, нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств.
1.
,
где
,на
.
2.
,
где
,
,
на
.
Замечание
1.
Если
,
,
таково, что степень
определена при
,
то ра- венство 2. справедливо на
;
если при этом
еще и положительно. то 2. справед- ливо
на
.
Например, если
- натуральное число, 2. справедливо на
.
3.
íà
и на
.
4.
,
,
,
на
.
Замечание
2.
При
получим:
на
.
5.
на
.
6.
на
.
7.
на каждом из интервалов
,
.
8.
на
каждом из интервалов
,
.
9.
на
.
10.
на
,
и
.
11.
на
.
12.
на
.
13.
на
и
.
Доказательства этих формул опираются на (2). В качестве примера проверим спра- ведливость равенства 13. Для этого достаточно убедиться, что производная функции
совпадает
с подынтегральной функцией.
►
Заметим:
;
поэтому при
.
Значит, сумма отрицательна на
и положительна на
.
На
имеем:
.
Таким образом, ln|
|
является первообразной подынтегральной
функции
на
;
отсюда и из (2) вытекает справедливость
равенства 13 на
.
Для промежутка
доказательство аналогично.
Равенства 1.–13. будем называть " табличными формулами".
Замечание
3.
В равенстве
(1) и в формулах 1.–13. переменную
интегрирования х
можно
обозначить любой другой буквой – такая
замена, если она произведена одновре-
менно в обеих частях равенства, не
отражается на смысле и справедливости
равенства. Например, формула
на
,
также как и формула 6. , означает, что
совокупность всех первообразных на
функции косинус совпадает с множе- ством
функций, каждая из которых есть сумма
функции синус и функции, тождественно
на
равной константе С..
1.3 Теремы, облегчающие отыскание неопределённых интегралов
Теорема 1. (Линейное свойство неопределённого интеграла) Пусть функции F и G являются первообразными на промежутке Х для функций и g соответственно, а - некоторое число. Тогда на Х :
1)
и 2)
.
Справедливость
этих равенств следует из (2) :
.и
.
Производя выкладки при отыскании неопределённого интеграла, равенства 1) и 2) удобно записывать в таком виде
Пример
1.
Найти
.
При
всяком вещественном х
Значит,
на R
.
Оба
интеграла в квадратных скобках
“табличные”, см. формулы 1. и 6. .п. 1.2:
.
Следовательно,
J.
Теорема
2.
(Формула
интегрирования “по частям”)
Пусть функции
и
дифференцируемы на промежутке Х
,
а
есть первообразная для
.
Тогда
на
X.
(3)
Функция
дифференцируема
на Х
, причём
.
Отсюда и из (2)
следует (3).
Так
как
,
формулу (3) можно записать так:
.
Это
равенство позволяет найти интеграл
,
если удается вычислить интеграл
.
Пример
2.
Найти
.
Представим
подынтегральное выражение в виде
произведения
,
положив
,
.
Тогда
,
.
Значит,
.
Интеграл
“табличный”, см. формулу 5, п.1.2. Получим:
на
.
Теорема
3.
(
Замена переменной интегрирования)
Пусть функции
и
определены на промежутке Х,
причём
есть первообразная для
на Х
. Пусть, далее,
дифференцируема
на некотором промежутке Т
,
причём
.
Тогда
на
Т
(4)
По теореме о производной сложной функции имеем на промежутке Т:
.
Таким образом,
есть первообразная для подынтегральной
функции интеграла
.
Значит (см. (2)) равенство (4) справедливо.
В условии теоремы есть первообразная для ; значит,
на
X.
Заметим, что если заменить
в обеих частях этого равенства букву х
на
функцию
,
то получится равенство, справедливость
которого доказана в теореме:
.
Таким образом,
вычислив интеграл от заданной функции
,
можно воспользоваться этим результатом
для получения различных новых равенств,
заменяя в доказанной фор- муле
переменную интегрирования х
на
ту или иную дифференциру- емую функцию.
Нередко это помогает отыскать заданный
интеграл.
Пример
3.
Пусть требуется найти
. Записав подынтегральное выра- жение
в виде
,
заметим, что интеграл
получается при замене в “табличной”
формуле
буквы
х
на
:
.
Итак,
.
Пример
4
Вычислим
.
Заметим:
;
поэтому
.
Значит,
.
Обратимся к “табличной” формуле 2.при
:
на
.
Заменим в ней x
на
:
.
Эта формула верна на промежутке
на котором
,
т.е. на
.
Итак,
.
Здесь С
–
константа, принимающая всевозможные
вещественные значения; поэтому и
-
тоже произвольная константа. Обозначив
её снова через С,
запишем
окончатель- ный результат:
.◄