4. Замена переменной под знаком несобственного интеграла

Пусть функция φ непрерывна и строго монотонна на промежутке , ограниченном или неограниченном. Обозначим: Е(φ) – множество её значений на ; а = Е(φ), b = Е(φ) (если φ не ограничена снизу на , то а= - ∞; если φ не ограничена сверху, то b =+ ∞). В силу теоремы о множестве значений строго монотон- ной функции ([1], стр. 67) Е(φ) представляет собой промежуток , причем а принад- лежит Е(φ) тогда и только тогда, когда принадлежит ; b принадлежит Е(φ) тогда и только тогда, когда β принадлежит .

Пример 16. 1) Функция tg u непрерывна и возрастает на ограниченном интервале , множество её значений есть неограниченный интервал ( - ∞,+ ∞). 2) Функция arctg u непрерывна и возрастает на неограниченном интервале ( - ∞,+ ∞), множество её значений есть ограниченный интервал . 3) Функция φ(u) = непрерывна и возрастает на ограниченном полуоткрытом промежутке [0,1), множество её значений есть неограниченный полуоткрытый промежуток [1, + ∞).

Теорема 1. ( О замене переменной в несобственном интеграле )

Пусть функция φ(u) непрерывно дифференцируема и возрастает (убывает) на промежутке , , ограниченном или неограниченном , а промежуток является множеством значений φ(u) на . Пусть, далее, функция f (х)непрерывна на . Тогда:

1. чтобы существовал интеграл необходимо и достаточно, чтобы существовал ;

2. если указанные интегралы существуют, то справедливо равенство

= ( = ).

► Доказательство проведем для возрастающей φ ; для убывающей функции оно аналогично.

Обозначим через ω функцию, обратную φ. По теореме о непрерывности обратной функции ( [1], стр. 69) ω непрерывна и возрастает на . Выберем некоторое u₀, < u₀ < β, и обозначим: с = φ(u₀). Ясно,что < c < . Заметим ещё: u₀ = ω(с).

1) Необходимость Пусть существует, т.е. является либо определенным, либо сходящимся несобственным интегралом. Докажем, что тогда существует интеграл ; для этого достаточно установить существование интегралов и .

Докажем существование . Пусть . Сегмент [t,u₀] функ- ция φ отображает на [φ(t),c] , поэтому справедливо равенство между определенными ин- тегралами = (см. замечание 2 к теореме 2, п. 1.12). Здесь t - любое, . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Заметим: существует; значит, существует , т.е. ; поэтому = . Отсюда:

= = . Таким образом, существует и равен .

Докажем существование . Пусть u₀ < t < . Сегмент [u₀,t] функция φ отображает на [c, φ(t) ] поэтому справедливо равенство между определенными интегралами = . Здесь t - любое, u₀ < t < . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существует,то = . Отсюда:

= = ; значит, существует и равен .

Итак, если существует , то существуют и . Следовательно, существует . Заметим:

= + =

= + = , т.е. утверждение 2) теоремы справедливо.

Достаточность. Пусть существует интеграл ; докажем существование , для чего достаточно установить существование и . Пусть a <ξ < c, Тогда . Функция φ отображает сегмент [ω(ξ),u₀] на [ξ,c], поэтому справедливо равенство между определенными интегралами: = = . Здесь ξ – любое, a <ξ < c, Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существует, то существует и ; поэтому = = . Значит,

= = , т.е. существует и равен .

При всяком ξ, c <ξ < b, имеем равнство между определенными интегралами = . Так как существует, то = . Следовательно,

= = , т.е. существует и равен . Итак, существует, причем

= + = + =

= .

2) Это утвенрждение теоремы уже доказано, см. выше. ◄

Пример 17. Рассмотрим . Имеем: при , так что точка 0 - особая для подынтегральной функции; значит мы имеем дело с несобственным интегралом по промежутку Выясним, сходится ли он, и в случае сходимости вы- числим его. Функция возрастает на промежутке , а множество Е(φ) её значений есть (a,b] = . Заменив в заданном интеграле = = переменную интегрирования по формуле , где . получим:

= . По теореме 1, так как сходится, то сходится и , причем эти интегралы равны. Таким образом, сходится и равен 1. Выкладки, на которые опирается это заключение, удобно записывать в виде цепочки равенств: = . Заметим, что здесь равенства между интегралами носят формальный характер до тех пор, пока не выяснилось, что последний из них существует.

Пример 18. Рассмотрим . Заменим переменную интегрирования: . Функция убывает на промежутке , а множество Е(φ) её значений есть [a,b) = ; поэтому

= . Интеграл = является определенным интегралом; значит, по теореме 1 заданный интеграл сходится, а написанное выше равенство действительно имеет место: = . Имеем: = = . Итак, заданный интеграл сходится и равен .

3.5 Главное значение несобственного интеграла по интервалу

Пусть функция f определена на некотором ограниченном интервале (a,b), a < b, и интегрируема на любом сегменте, содержащемся в (a,b); и пусть обе точки a и b являются особыми для f. Тогда и , где с – некоторая точка, a < с < b, - несобст- венные интегралы, каждый из которых может быть сходящимся или расходящимся.

Сходимость интеграла эквивалентна существованию предела (см. п. 2.2), который, если положить ε₁ = t – a, можно записать как . Аналогично, сходимость интеграла эквивалентна сущест- вованию предела . Согласно определению п.2.3 сходимость интеграла эквивалентна существованию обоих этих пределов, причем, если они существуют,то

= + = + . Здесь каждый из двух предельных переходов совершается независимо от другого, т.е. ε₁ и ε₂ стремятся к +0 независимо друг от друга.

Однако, особый интерес представляет частный случай описанных выше предель- ных переходов, а именно тот случай, когда ε₁ и ε₂ стремятся к +0, будучи связанными равенством ε₁ = ε₂ . Речь идет, таким образом,о пределе = . Заметим, что если существуют и , то существует и , причем он равен сумме первых двух пределов. Обратное утверждение неверно: из существования не вытекает существование пределов и .

Определение 1. Если существует предел , то это число называют главным значением несобственного интеграла .

Обозначают главное значеие интеграла символом v.p. . Таким образом,

v.p. , если этот предел существует. В таком случае говорят, что несобственный интеграл сходится в смысле главного значения.

Если сходится (см. п.2.3), то он сходится и в смысле главного значения, причем в этом случае = v.p. . Важно отметить, что расходящийся интег- рал может оказаться сходящимся в смысле главного значения.

Пример 19. Интеграл расходится, см. пример 15. Однако,

. Таким образом, сходится в смысле главного значения, причем

v.p. = 0.

Пусть теперь f определена на неограниченном интервале (-∞,+∞) и интегрируема на всяком сегменте числовой оси.

Определение 2. Если существует предел , то это число называют гдавным значением несобственного интеграла .

Обозначают главное значение интеграла символом v.p. . Таким образом,

v.p. , если этот предел существует. В таком случае говорят, что несобственный интеграл сходится в смысле главного значения. Если сходится, то он сходится и в смысле главного значения, причем в этом случае = v.p. . Расходящийся интеграл может оказаться сходящимся в смысле главного зна- чения.

Пример 20. Рассмотрим . Имеем: . Таким образом, расходится; этого достаточно для заключения: расходится. Однако, = 0; значит, сходится в смысле главного значения, и v.p. = 0.