34. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Амплитуда и фаза собственных затухающих колебаний.

Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, (ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. 

Решение уравнения рассмотрим в виде

 (7.1) где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим

35. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса. Резонансная кривая. Резонансная частота.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы).

        Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

В каноническом виде дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний имеет вид:

Для пружинного маятника:

     и     

Для амплитуды и сдвига фаз получаются следующие выражения:

здесь _- частота свободных (незатухающих) колебаний маятника;  - коэффициент затухания.

        Обратите внимание, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты маятника. Максимальное значение амплитуды получается, если 

        Частота   называется резонансной частотой, а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса. 

36. Волна. Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Синусоидальные (гармонические) волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число.

Волны - возмущения, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

 Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.

Продольная волна – это волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

Поперечная волна - это волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Упругие поперечные волны могут возникать лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Уравнение плоской одномерной синусоидальной волны:

Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний, называется ДЛИНОЙ ВОЛНЫ  = .

        ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО k:

        С помощью введенного волнового числа уравнение волны запишется: