Критерий Эйзенштейна о неприводимости многочленов над полем рациональных чисел
Если вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем C и R решается легко, то вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем Q решается довольно сложно.
Существует несколько достаточных критериев приводимости и неприводимости многочленов и несколько необходимых. Мы рассмотрим наиболее важные.
Если
многочлен
с целыми коэффициентами имеет рациональный
корень
,
то он приводим над Q
.
Докажем критерий Эйзенштейна (достаточное условие того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводим над Q).
Многочлен с целыми коэффициентами
,
будет неприводим над Q, если существует простое число p, удовлетворяющее условиям:
.
Доказательство:
Пусть
удовлетворяет всем условиям критерия
и пусть он приводим =>
.
,
где
.
Тогда
Все
коэффициенты, кроме
делятся на p,
когда
,
но
,
.
Пусть
(если бы
,
то
,
а у нас
,
значит
).
,
тогда
,
но
=>
.
,
тогда
=>
.
На
m-ом
шаге получим
.
Поднимемся в первое равенство:
=>
,
а это против условия (1) критерия
Эйзенштейна.
Значит многочлен неприводим.
Пример:
Выяснить приводимость многочлена
существует 3:
.
0,3,-12,39,6 3. Значит многочлен неприводим над Q.
Из критерия Эйзенштейна следует, что над полем Q существует неприводимый многочлен сколь угодно большой степени. Докажем, что существует многочлен тысячной степени.
.
2
5;
0,…,0,5,10
.
10 25.
Значит многочлен неприводимый над полем Q.
Критерия Эйзенштейна является лишь достаточным условием, поэтому если хотя бы одно из условий критерия не выполняется, то о многочлене нельзя сказать приводимый он или неприводимый.
Формулы Виета и теорема Виета
Запишем уравнение n-ой степени.
Уравнением
n-ой
степени называется равенство
,
где
- многочлен n-ой
степени, если ставится задача найти
такие значения переменной x,
при которых это равенство обращается
в верное, число c
при этом называется корнем уравнения
. (1)
Корни уравнения это есть корни многочлена .
Мы знаем, что над полем C всякий многочлен n-ой степени имеет n корней.
.
Формулы Виета выражают связь между корнями уравнения (1) и его коэффициентами.
Возьмем многочлен со старшим коэффициентом (1) над полем C, он имеет n корней, считая их кратность.
.
Раскрывая скобки в правой части этого равенства мы получим:
.
Формулы Виета:
.
.
.
…
.
Если
- корни многочлена
со старшим коэффициентом 1, то сумма
корней взятых по одному равняется вторым
коэффициентом многочлена взятых с
противоположным знаком. Сумма произведение
корней взятых по два равна третьему
коэффициенту, сумма произведение взятых
по три равна четвертому коэффициенту,
…, произведение всех корней равно
свободному члену на
.
Уравнения третьей степени с действительными коэффициентами
.
.
. (2)
.
–называется
дискриминантом кубического уравнения
(2).
1)
D<0
=>
.
- положительное
действительное число.
- действительное
число.
.
– действительное,
- комплексно-сопряженные.
– действительное,
– действительное.
.
Один действительный корень и два комплексно-сопряженных.
2)
D=0
=>
.
- действительное
число.
,
- комплексно-сопряженные.
.
.
.
.
Все три корня действительные числа.
3)
D>0
=>
.
– линейное число.
- комплексное
число.
Корень третьей степени отличается от действительного. Действительным быть не может.
– комплексные
числа.
– действительные
корни <=> когда числа являются
комплексно-сопряженными
.
;
.
.
.
Все три корня действительные числа.
Корни кубического уравнения часто находят приближенным методом.