Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Алгебра многочленов.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
230.98 Кб
Скачать

Критерий Эйзенштейна о неприводимости многочленов над полем рациональных чисел

Если вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем C и R решается легко, то вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем Q решается довольно сложно.

Существует несколько достаточных критериев приводимости и неприводимости многочленов и несколько необходимых. Мы рассмотрим наиболее важные.

Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то он приводим над Q .

Докажем критерий Эйзенштейна (достаточное условие того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводим над Q).

Многочлен с целыми коэффициентами

,

будет неприводим над Q, если существует простое число p, удовлетворяющее условиям:

  1. .

Доказательство:

Пусть удовлетворяет всем условиям критерия и пусть он приводим => .

, где .

Тогда

Все коэффициенты, кроме делятся на p, когда , но , .

Пусть (если бы , то , а у нас , значит ).

, тогда , но => .

, тогда => .

На m-ом шаге получим . Поднимемся в первое равенство:

=> , а это против условия (1) критерия Эйзенштейна.

Значит многочлен неприводим.

Пример: Выяснить приводимость многочлена существует 3: .

0,3,-12,39,6 3. Значит многочлен неприводим над Q.

Из критерия Эйзенштейна следует, что над полем Q существует неприводимый многочлен сколь угодно большой степени. Докажем, что существует многочлен тысячной степени.

.

2 5;

0,…,0,5,10 .

10 25.

Значит многочлен неприводимый над полем Q.

Критерия Эйзенштейна является лишь достаточным условием, поэтому если хотя бы одно из условий критерия не выполняется, то о многочлене нельзя сказать приводимый он или неприводимый.

Формулы Виета и теорема Виета

Запишем уравнение n-ой степени.

Уравнением n-ой степени называется равенство , где - многочлен n-ой степени, если ставится задача найти такие значения переменной x, при которых это равенство обращается в верное, число c при этом называется корнем уравнения

. (1)

Корни уравнения это есть корни многочлена .

Мы знаем, что над полем C всякий многочлен n-ой степени имеет n корней.

.

Формулы Виета выражают связь между корнями уравнения (1) и его коэффициентами.

Возьмем многочлен со старшим коэффициентом (1) над полем C, он имеет n корней, считая их кратность.

.

Раскрывая скобки в правой части этого равенства мы получим:

.

Формулы Виета:

.

.

.

.

Если - корни многочлена со старшим коэффициентом 1, то сумма корней взятых по одному равняется вторым коэффициентом многочлена взятых с противоположным знаком. Сумма произведение корней взятых по два равна третьему коэффициенту, сумма произведение взятых по три равна четвертому коэффициенту, …, произведение всех корней равно свободному члену на .

Уравнения третьей степени с действительными коэффициентами

.

.

. (2)

.

–называется дискриминантом кубического уравнения (2).

1) D<0 => .

- положительное действительное число.

- действительное число.

.

– действительное, - комплексно-сопряженные.

– действительное, – действительное.

.

Один действительный корень и два комплексно-сопряженных.

2) D=0 => .

- действительное число.

, - комплексно-сопряженные.

.

.

.

.

Все три корня действительные числа.

3) D>0 => .

– линейное число.

- комплексное число.

Корень третьей степени отличается от действительного. Действительным быть не может.

– комплексные числа.

– действительные корни <=> когда числа являются комплексно-сопряженными .

;

.

.

.

Все три корня действительные числа.

Корни кубического уравнения часто находят приближенным методом.