Теорема о разложении многочлена в произведении неприводимых над p множителей.

Теорема:

Всякий , ст. , либо неприводим, либо представим в виде произведения неприводимых множителей:

– неприводимый многочлен, (1)

причем представление (1) однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и множителей нулевой степени.

1. Существование.

Доказательство: Доказательство существования такого представления проведем методом индукции.

1. над P неприводим (свойство 1), для многочлена 1-ой степени теорема верна.

2. Предположим, что для любого степени , теорема верна.

3. Докажем теорему для многочленов ст. k+1.

Многочлен k+1 степени не является числом, т.к. числами являются только многочлены 0 степени.

Если он неприводим, то теорема верна.

Если приводим:

ст.

ст.

по предположению эти многочлены удовлетворяют условию теоремы

4. Т.к. А(1) верно и (А(m)) => А(k+1), то на основании принципа мат. индукции это утверждение справедливо для всех многочленов степени n≥1.

2. Единственность.

Разложение многочлена на неприводимые множители однозначно, если:

,

.

1. k=l

2. 

Метод мат. индукции:

1. разложение из одного сомножителя. Теорема верна.

2. Предположим для любого ст. , разложение однозначно с точностью до порядка следования и множителя 0-ой степени.

3. Докажем единственность разложения для многочленов k+1 степени.

k+1 степени.

Он разлагается на неприводимые множители по первой части теоремы. Пусть разлагается двумя способами:

,

.

Надо доказать, что .

Правая часть , т.к. левая делится, но это возможно, когда .

Разделим на .

Правая и левая части являются разложением многочлена на неприводимый множитель, степень которого ≤ k, а по предположению для таких многочленов теорема справедлива, т.е. разложение однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и множителя 0-ой степени, т.е.

,

,

• Разложение однозначно.

4. А(1) и А(m), ( ) => А(k+1) => А(n) – истина, .

Замечание: В разложении многочлена множители могут повторяться несколько раз:

,

.

Если считать, что старший коэффициент у всех неприводимых многочленов 1, то неприводимый многочлен со старшим коэффициентом 1 называется нормированным.

,

,

.

Последняя формула – это разложение на нормированные неприводимые множители.

Пример:

Разложим на неприводимые множители.

- над R.

Над C: .

.

Неприводимый многочлен называется k-кратным множителем многочлена , если , но не делится .

Производная многочлена. Теорема о k-кратном множителе.

.

Первой производной многочлена называется многочлен вида:

.

Второй производной многочлена называется производная от первой производной многочлена :

.

Для многочленов справедливы правила дифференцирования:

1. ;

.

2. ;

.

3. ;

.

4. ;

.

Теорема о кратном множителе многочлена :

Если является k-кратным множителем в разложении многочлена над P, то этот многочлен будет являться множителем (k-1) кратности в разложении его производной .

Доказательство:

• 

Покажем, что .

Сумма .

Многочлен для является (k-1)-кратным.

Теорема о k-кратном корне многочлена :

, c – k-кратный корень многочлена .

Всякое число с, являющееся корнем k-кратности многочлена , является корнем его производной кратности (k-1).

Доказательство:

Дано: c – k-кратный корень.

c – корень (k-1) кратности.

Пример: ,

	5	-32	75	-76	28
2	5	-22	31	-14	0

.

с=1 – корень.

Следствие:

1)

- могут быть нулями.

.

Произведение всех общих множителей, входящих в разложение каждого из них:

.

,

произведение неприводимых множителей, входящих в разложение хотя бы одного.

Учитывая теорему о k-кратном множителе многочлена можно доказать следующую теорему.

2) Многочлен не имеет кратных множителей  .

Доказательство:

Пусть дан многочлен .

.

.

Дано: многочлен не имеет кратных множителей.

В произведение будут входить в 0-ой степени.

Тогда .

. => Значит каждый в разложение входит в 0-ой степени, значит, в сам многочлен он войдет в 1 степени.

Пример:

Есть ли кратные неприводимые множители?

D<0. Найти НОД.

- 4-ой степени.

.