
- •Алгебра многочленов от одной переменной. Многочлены над полем p.
- •Делимость в кольце многочленов.
- •Деление многочленов с остатком.
- •Теорема о делении с остатком.
- •Общий делитель многочленов. Наибольший общий делитель.
- •«Теорема о линейном представлении нод двух многочленов»
- •Взаимно-простые многочлены и их свойства.
- •Наименьшее общее кратное двух и нескольких многочленов.
- •Значение многочлена от числа. Корни многочлена. Деление многочлена на линейный двучлен.
- •Теорема Безу. Следствие из теоремы Безу.
- •Кратные корни. Теорема о числе корней многочлена n – степени.
- •Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
- •Приводимые и неприводимые многочлены над p.
- •Теорема о разложении многочлена в произведении неприводимых над p множителей.
- •Производная многочлена. Теорема о k-кратном множителе.
- •Формула Тейлора. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена.
- •Многочлены над полем комплексных чисел
- •Многочлены над полем действительных чисел
- •Разложение многочлена над полем действительных числе на неприводимые множители
- •Многочлены над полем рациональных чисел
- •Сведение вопроса о приводимости многочленов над полем рациональных числе к вопросу о приводимости этих многочленов над кольцом целых чисел.
- •Критерий Эйзенштейна о неприводимости многочленов над полем рациональных чисел
- •Формулы Виета и теорема Виета
- •Уравнения третьей степени с действительными коэффициентами
- •Решение уравнений с рациональными коэффициентами. Нахождение рациональных корней уравнения.
- •Многочлены от n-переменных Кольцо многочленов от n-переменных
- •Однородные многочлены. Степень произведения многочленов
- •Лексикографическое расположение членов многочлена
- •Симметрические многочлены от n переменных
Кратные корни. Теорема о числе корней многочлена n – степени.
Число
c
называется k
– кратным корнем
,
если
,
но не делится на
.
Кратность корня многочлена можно определять с помощью схемы Горнера.
Пример:
Определить кратность корня
|
1 |
7 |
16 |
8 |
-16 |
-16 |
-2 |
1 |
5 |
6 |
-4 |
-8 |
0 |
-2 – корень.
-2 |
1 |
3 |
0 |
-4 |
0 |
-2 |
1 |
1 |
-2 |
0 |
-2 |
1 |
-1 |
0 |
-2 |
1 |
-3 |
Теорема:
Если имеет степень n, то число корней этого многочлена, принадлежащих полю P, не превосходит n.
Доказательство:
Пусть
– корень
.
По следствию из теоремы Безу:
Если
не имеет корней над P,
то
имеет 1 корень.
Пусть
- корень
.
– корень
,
т.к.
Если
продолжим рассуждения.
Пусть
– корень
.
– корень .
m – корень.
Если
бы
,
то в правой части ст. больше m,
получим противоречие. Следовательно,
.
Следствие: Нулевой многочлен над любым полем имеет бесконечно много корней.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Алгебраическое определение равенства: (1)
называются
равными, если
На многочлен можно смотреть как на функцию: (2)
равны
(в функциональном смысле), если
значение
.
Теорема:
Алгебраическое и функциональное определения равенства эквивалентны.
Доказательство:
1) Пусть многочлены равны по (1) определению.
Дано:
а значение многочлена определено однозначно. Значит , т.к. коэффициенты равны.
2) Пусть равны по (2) определению.
Дано:
:
является корнем .
имеет бесконечное множество корней => – нулевой многочлен
Два множества равны их соответствующие коэффициенты равны
.
Приводимые и неприводимые многочлены над p.
В кольце целых чисел особую роль играют простые числа.
В теории многочленов аналогичную роль играют неприводимые многочлены.
Определение 1: p(x) над P называется неприводимым, если он имеет своими делителями делители вида c и cp(x) и других делителей не имеет.
Определение
2:
над P
называется приводимым, если кроме
делителей c
и cf(x)
этот многочлен имеет другие делители
,
.
R:
,
не приводим.
C:
кроме
приводимый.
Один и тот же многочлен над одним полем может оказаться неприводим, а над другим приводим.
ст.
называется приводимым над P,
если существуют многочлены
над P,
что имеет место равенство
ст.
называется неприводимым над P,
если в любом его представлении вида
(1)
один из многочленов будет иметь 0 степень, другой n.
Замечание: Многочлены 0-ой степени играют роль 1. То есть не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. Всякий другой многочлен будет либо приводим, либо неприводим.
Свойства:
Многочлены 1-ой степени не приводимы над любым числовым полем.
Доказательство:
Дано:
Пусть
1 m k
1=m+k
m=0, k=1
m=1, k=0
m≥0, k≥0
0-ой степени (число)
- 1-ой степени dx+l
неприводим.
Если неприводим над P, то
тоже неприводим над этим полем.
Доказательство:
по свойству
делимости имеют одинаковый делитель,
а т.к.
имеет делитель
,
те же.
Это свойство позволяет при рассмотрении многочленов приводимых и неприводимых в разложении многочленов на неприводимые множители брать со старшим коэффициентом 1.
Если неприводим над P, а любой
, то возможны 2 случая:
;
Доказательство:
Рассмотрим
над P.
НОД
,
-
непр.
и
.
- либо число, либо
.
Произведение двух или нескольких многочленов делится на неприводимый многочлен, когда хотя бы 1 из них этот многочлен.
.
Доказательство:
Достаточность следует из свойств делимости.
Необходимость для случая 2-х сомножителей:
Дано:
По
предыдущей теореме
.
Или
по теореме о взаимно простых многочленах,
то
.
Для k-1 сомножителя верна.
Для k сомножителей.
Понятие приводимости многочленов является относительным. Это значит, что один и то же многочлен над одним полем может быть приводим, а над другим нет.