Кратные корни. Теорема о числе корней многочлена n – степени.

Число c называется k – кратным корнем , если , но не делится на .

Кратность корня многочлена можно определять с помощью схемы Горнера.

Пример: Определить кратность корня

	1	7	16	8	-16	-16
-2	1	5	6	-4	-8	0

-2 – корень.

-2

1

3

0

-4

0

-2

1

1

-2

0

-2

1

-1

0

-2

1

-3

Теорема:

Если имеет степень n, то число корней этого многочлена, принадлежащих полю P, не превосходит n.

Доказательство:

Пусть – корень .

По следствию из теоремы Безу:

Если не имеет корней над P, то имеет 1 корень.

Пусть - корень .

– корень , т.к.

Если продолжим рассуждения.

Пусть – корень .

– корень .

m – корень.

Если бы , то в правой части ст. больше m, получим противоречие. Следовательно, .

Следствие: Нулевой многочлен над любым полем имеет бесконечно много корней.

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.

Алгебраическое определение равенства: (1)

называются равными, если

На многочлен можно смотреть как на функцию: (2)

равны (в функциональном смысле), если значение .

Теорема:

Алгебраическое и функциональное определения равенства эквивалентны.

Доказательство:

1) Пусть многочлены равны по (1) определению.

Дано:

а значение многочлена определено однозначно. Значит , т.к. коэффициенты равны.

2) Пусть равны по (2) определению.

Дано:

:

является корнем .

имеет бесконечное множество корней => – нулевой многочлен

Два множества равны  их соответствующие коэффициенты равны

.

Приводимые и неприводимые многочлены над p.

В кольце целых чисел особую роль играют простые числа.

В теории многочленов аналогичную роль играют неприводимые многочлены.

Определение 1: p(x) над P называется неприводимым, если он имеет своими делителями делители вида c и cp(x) и других делителей не имеет.

Определение 2: над P называется приводимым, если кроме делителей c и cf(x) этот многочлен имеет другие делители , .

R: ,

не приводим.

C: кроме

приводимый.

Один и тот же многочлен над одним полем может оказаться неприводим, а над другим приводим.

ст. называется приводимым над P, если существуют многочлены над P, что имеет место равенство

ст. называется неприводимым над P, если в любом его представлении вида

(1)

один из многочленов будет иметь 0 степень, другой n.

Замечание: Многочлены 0-ой степени играют роль 1. То есть не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. Всякий другой многочлен будет либо приводим, либо неприводим.

Свойства:

1. Многочлены 1-ой степени не приводимы над любым числовым полем.

Доказательство:

Дано:

Пусть

1 m k

1=m+k  m=0, k=1 m=1, k=0

m≥0, k≥0

0-ой степени (число)

- 1-ой степени dx+l

• неприводим.

2. Если неприводим над P, то тоже неприводим над этим полем.

Доказательство:

по свойству делимости имеют одинаковый делитель, а т.к. имеет делитель , те же.

Это свойство позволяет при рассмотрении многочленов приводимых и неприводимых в разложении многочленов на неприводимые множители брать со старшим коэффициентом 1.

3. Если неприводим над P, а любой , то возможны 2 случая:

1. ;

2. 

Доказательство:

Рассмотрим над P.

НОД

, - непр. и .

- либо число, либо

.

4. Произведение двух или нескольких многочленов  делится на неприводимый многочлен, когда хотя бы 1 из них этот многочлен.

 .

Доказательство:

1. Достаточность следует из свойств делимости.

2. Необходимость для случая 2-х сомножителей:

Дано:

По предыдущей теореме .

Или по теореме о взаимно простых многочленах, то .

Для k-1 сомножителя верна.

Для k сомножителей.

Понятие приводимости многочленов является относительным. Это значит, что один и то же многочлен над одним полем может быть приводим, а над другим нет.