Лексикографическое расположение членов многочлена

Замечание: Многочлены от одного переменного записывают либо по убывающим степеням переменного, либо по возрастающим степеням.

Расположение членов многочлена от n переменных аналогично расположению слов в словарях.

а б в г

(1)

(2)

…

Определение. Член (1) будет выше члена (2), если , что , , …, , .

Понятие «быть выше» является транзитивным, т.е. если первый выше второго, а второй выше третьего, то первый выше третьего.

Любые два члена многочлена можно сравнить по высоте.

Лемма о высшем члене произведения многочленов:

Высший член произведения двух многочленов равен произведению высших членов данных многочленов.

;

- высший член первого многочлена f.

– произведение членов многочленов f.

- высший член многочлена .

- произведение членов многочлена .

(1)

(2)

(3)

(4)

Сравним по высоте (1) и (2).

…

…

Сравним (1) и (3).

Т.к. - показатель высшего члена, - произведения

…

Первый член выше 3-го.

Сравним (3) и (4). … (4) ниже чем (3).

По свойству транзитивности (1) выше всех остальных. Ч.т.д.

Пример: Расположить многочлены в лексикографическом смысле и найти высший член произведения.

Высший член .

Симметрические многочлены от n переменных

Среди многочленов от n переменных встречаются такие, которые не зависят от транспозиции(перестановк переменных.

3

-3

-3

+ -3

Говорят, что переменные в эти многочлены входят симметричным образом, их называют симметрическими многочленами.

Многочлен называется симметрическим, если он не изменяется при любой транспозиции переменных.

Если симметрический многочлен входит слагаемым, то обязательно в этот многочлен войдут слагаемые , … и др.

- симметрический.

Пример: Дополнить многочлен до минимального симметрического.

– моногенный многочлен.

n=4:

n=3:

Среди симметрических многочленов существуют простейшие или элементарные многочлены.

n переменных:

…

n=3:

n=4:

Числа из поля P и 0-ой многочлен являются симметрическими.

Симметрические многочлены являются подмножеством кольца всех многочленов.

Сумма любых двух симметрических многочленов также является симметрическим многочленом; произведение любых двух симметрических многочленов тоже симметрический многочлен.

Во множестве симметрических многочленов выполнимы операции сложения и умножения.

Сложение коммутативно и ассоциативно; существует 0-ой многочлен; - тоже симметрический; умножение симметрических многочленов дистрибутивно относительно сложения, т.к. это выполняется для всех многочленов.

• Симметрические многочлены образуют подкольцо кольца всех многочленов.

n=3:

Всякое выражение в виде многочлена от основных симметрических многочленов является симметрическим многочлен от , , .

Любой многочлен после подстановки вместо их выражают через обращается в симметрический многочлен.

Основная теорема о симметрических многочленах:

Всякий симметрический многочлен от n переменных представим в виде многочлена от основных симметрических многочленов с коэффициентами из того же поля P, что и данный многочлен.

Доказательство:

Пусть дан симметрический многочлен .

(*)

…

Найдем высший член симметрического многочлена .

Докажем вспомогательную лемму:

Показатели в высшем члене симметрического многочлена удовлетворяют цепочке .

Метод «от противного».

Пусть . Тогда т.к. многочлен симметрический, то на ряду со старшим членом (1) должен быть (2).

Член (2) будет выше члена (1), что противоречит выбору высшего члена (однозначно) => не верно =>

…

По высшему члену строим .

(2)

в неотрицательных степенях.

Если вместо подставим их выражения через (*) и выполнить все указанные действия, то получим симметрический многочлен, высший член которого будет равен высшему члену .

высший член:

… …

По лемме высший член произведения равен произведению этих членов.

высший член:

высший член (2) будет ниже члена (1)

По высшему члену (2) составим одночлен .

Вместо подставим (*) и выполнив все указанные действия получим симметрический многочлен, высший член которого будет равен высшему члену (2).

– симметрический.

Высший член понижен по сравнению со (2)

, .

Процесс конечен, т.к. показатели конечное число.

Настанет момент .

Складывая правые и левые части равенств

А это многочлен от .

56