Многочлены от n-переменных Кольцо многочленов от n-переменных
Пусть P – произвольное числовое поле.
x1, x2, …, xn – переменные.
Выражение
вида
(1), где
называется одночленом от n
переменных, a
– коэффициент
одночлена.
Конечная сумма одночленов от n переменных называется многочленом от n переменных.
Степенью
одночлена (1) относительно всех переменных
называется число равное сумме показателей
(
).
Каждый член многочлена имеет свою степень.
Степенью многочлена от n переменных относительно всех переменных называется наибольшая из степеней членов данного многочлена.
Множество
всех многочленов от n
переменных
.
Теорема: Множество всех многочленов от n переменных над полем P является кольцом.
Введем операцию сложения.
. (1)
. (2)
Два одночлена называются подобными, если они различаются только числовым коэффициентом.
В записи (1) и (2) многочлена не должно быть подобных.
Суммой
двух многочленов
назовем новый многочлен, который
получается при приписывании членам
первого многочлена всех членов второго
многочлена с теми же знаками.
Из определения суммы двух многочленов следует, что сложение многочленов коммутативно и ассоциативно.
Роль
нуля при сложении многочленов играет
нулевой многочлен
.
Для любого многочлена существует ему противоположный.
По сложению многочлены образуют абелеву группу.
Произведением двух одночленов назовем выражение вида
Произведение двух многочленов от n переменных называется новый многочлен, который получается в результате последовательного перемножения всех членов первого на все члены второго многочлена и приведения подобных одночленов.
Нетрудно доказать, что умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения.
Мы
доказали, что множество всех многочленов
является кольцом (коммутативное,
ассоциативное, 0-ой элемент,
противоположный, умножение дистрибутивно).
Кольцо коммутативно-ассоциативное с 1.
– многочлен нулевой
степени
.
Однородные многочлены. Степень произведения многочленов
Многочлен
от n
переменных
называется однородным, если все его
члены имеют одинаковую степень.
Однородные многочлены называют формой m-ой степени.
однородный многочлен
2-ой степени.
Теорема: Всякий многочлен от n переменных можно представить в виде суммы нескольких однородных многочленов.
Доказательство:
найдем наибольшую степень одночлена, членов имеющих наибольшую степень может оказаться несколько.
Соберем все члены, имеющие наибольшую степень.
Из оставшихся многочленов выберем одночлен, имеющий наибольшую одинаковую степень. И т.д.
;
;
…
.
.
Мы записали многочлен в виде суммы одночленов.
Теорема: Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней сомножителей.
Доказательство:
,
.
Ст. f=m.
Ст. h=k.
Ст. f·h=m+k.
Многочлены f и h представим в виде суммы однородных многочленов.
Ст.
.
Ст.
.
Однородный
многочлен ст.
,
s+t.
В
произведении f·h
все слагаемые будут однородными
одночленами, причем ст.
,
а степени всех остальных слагаемых
<m+k.
Ст. f·h=m+k.
Если f и h ненулевые, то их произведение ненулевым многочленом не будет.
Кольцо многочленов не содержит делителей нуля.