Алгебра многочленов от одной переменной. Многочлены над полем p.
Пусть
-
произвольное числовое поле
Выражение
вида
,
где
называется одночленом
Выражение
вида
называется многочленом c
одной переменной над полем P
(обозначается
)
– коэффициент многочлена,
На многочлен можно смотреть как на функцию с областью определения P
Множество
всех многочленов обозначается
Степенью
многочлена
называется наибольший показатель
степени переменного. Член, содержащий
наибольшую степень называется старшим
членом многочлена. Член, не содержащий
переменного называется свободным.
Теорема. Множество всех многочленов над полем является кольцом
Два
многочлена
и
равны, если их соответствующие коэффициенты
равны.
Суммой
двух многочленов
и
назовем многочлен
коэффициенты, которого являются суммой
соответствующих коэффициентов.
при
Если
то
= n
Пример:
Сложить
=
Степень суммы (ст. ( )< max(n, k))
Свойства сложения:
Сложение многочленов коммутативно
так как сложение
многочленов сводится к сложению
коэффициентов, т. е. чисел из поля
Сложение многочленов ассоциативно
(
)+
(
+
)
Во множестве всех многочленов существует нулевой многочлен (все коэффициенты которого являются нулями)
+ 0 =
)= 0
Вводим операцию умножения
Произведением
двух многочленов
и
назовем многочлен
Где:
Чтобы перемножить два многочлена нужно каждый член первого умножить на все члены второго и привести подобные слагаемые.
Пример:
При
умножении многочленов старший член
произведения равен произведению старших
членов. Свободный член произведения
равен произведению свободных членов.
Степень произведения
(сумма
степеней сомножителей)
Произведение двух многочленов равно нулевому многочлену тогда и только тогда, когда хотя бы один из многочленов равен нулевому.
Докажем что умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения.
Покажем, что выполняется равенство
(
)
ст.
= (n+k)
n+k
> n+
n+k
Покажем, что они имеют одинаковую степень
Пусть
для определенности
,
тогда ст. (
)=
k,
ст.
=n+k
Докажем равенство коэффициентов
Значит,
.
Так как
произвольный, то все коэффициенты
многочлена стоящие в левой части равны
коэффициентам, стоящим в правой части
Значит
кольцо.
Нетрудно доказать, что умножение многочленов коммутативно и ассоциативно, значит кольцо – коммутативно ассоциативное.
Кольцо
содержит единичный элемент
(1 – многочлен нулевой степени)
Теорема.
Многочлен
имеет себе
обратный тогда и только тогда, когда
.
Пусть
тогда
Делимость в кольце многочленов.
В кольце многочленов операция деления не выполнима, однако существуют такие многочлены, что один из них делится на другой.
Во множестве всех многочленов вводится понятие делимости.
Говорят
многочлен
делится на
,
если
,
такой что
делитель
,
кратное
Свойства делимости многочленов:
,
,
,
4.
;
,
то
Если и
любой,
то
Свойство 3 и свойство 5 выражают достаточное условие делимости суммы и произведения.
Если а
,
то
свойство транзитивности.Если , то
Если степени n, то любой делитель многочлена имеющий степень n имеет вид:
,
и делятся друг на друга тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга числовым множителем.
Доказательство:
1)Необходимость.
Дано.
Доказать.
Доказательство.
Ст.
Ст.
многочлены нулевой
степени, то есть являются числами из
поля
,
d
2)Достаточность.
Дано.
Доказать.
Доказательство.
Из условий и определения делимости
следует, что
Делители многочленов
одни и те же.