20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині

Нехай прямі л1 та л2 задано рівняннями:

(x-x1) = (y-y1) = (z-z1) (x-x2) = (y-y2) = (z-z2)

m1 n1 p1 m2 n2 p2

Кут між цими прямими дорівнює куту β між її напрямними векторами s1=(m1,n1,p1) s2=(m2,n2,p2) тому дістанемо:

Соs β =s1*s2 = m1*m2 +n1*n2+p1*p2 ________

|s1|*|s2| √ (m1*m1+n1*n1+p1*p1) * √((m2*m2+n2*n2+p2*p2)

Умови належності двох прямих площині:

L1:S1,M1; x2-x1 y2-y1 z2-z1

L2:S2,M2; l1 m1 n1 = 0

M1M2*S1*S2=0 l2 m2 n2

21. Кут між прямою і площиною

_{sin =cos( - ) =}

22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.

1)означення

Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до 2-ох фіксованих точок(фокус) є величиною сталих.

Складемо рівняння еліпса

Нехай F1,F2 –фокус еліпса

Якщо F1=F2 то еліпс являється колом.

Вибираємо систему координат так, щоб фокуси мали координати

F1(-c;0) F2(c;0) c > 0

|F1 F2| = 2c Беремо довільну точку М(х;у) |M F1| = r |M F2| = r r , r - фокальні радіуси точки еліпса, тому

r + r =2a, a>0

a>c(з властивостей сторін трикутника)

r = |M F1| =

r = |M F2| =

підставляємо в рівняння зв’язку і будемо мати

+ =2а

(x + c) + y =4a - 4a + (x-c) + y

a =a - cx

a x - 2a cx +a c + a y = a - 2a cx + c x

(a - c )x + a y = a (a - c )

b= b = a - c

b x + a y = a b інакше

+ =1

Властивості еліпса:

1) |x| ≤ a ; |y| ≤ b еліпс знаходиться в середині прямокутника із сторонами 2а і 2b еліпс має 2 осі симетрії , та центр симетрій. якщо еліпс задано рівнянням 1, то ОХ, ОУ –вісі симетрії 0-центр симетрії.

Вісі симетрії називають головними осями еліпса, центр симетрії-центром еліпса.

точки перетину еліпса з головними осями називаються ВЕРШИНАМИ еліпса

_{y=f(x) x [a,b] f (….)}

2) Еліпс є результатом стиснення кола.

23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.

О.: Гіпербола – множина точок площини, різниця відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою.

F₁(-c;0) F₂(c;0) c>0

|r₁-r₂|=const=2a

c>a

r₁=√((x+c)² +y²) ; r₂=√((x-c)² +y²)

|√((x+c)² +y² ) - √((x-c)² +y² )| =2a

x²/a² - y²/(c²-a²) = 1 ;c² - a²=b² ;

x²/a² - y²/b²=1 – канонічне рівняння гуперболи а,b –довжини півосей гіперболи

Властивості:

1. x²/a²>=1 точки гіп. розташовані в області |x|>=a В смузі |x|<a точок гіперболи нема

2. Г. Має 2 вісі симетрії Ох і Оу, центр симетрії – точка О

3. Г. має 2 вершини А₁(-а;0) А₂(а;0)

Точок перетину з віссю Оу не має. Оу – уявна вісь, Ох – дійсна вісь.

4. можна довести, що Г. Має 2 асимптоти у=(b/a)x і у= - (b/a)x

5. одночасно з розглянутою гіперболою вводять спряжену гіперболу, яка задається рівнянням x²/a² - y²/b²= -1

В₁=(0;-b) В₂=(0;b)

6. Ексцентриситет гіперболи – Е=с/а>1

Директриси: х=а/Е і х= - а/Е

Властивість директриси Г: r₁/d₁=r₂/d₂=E

Фокальні радіуси для правої частини Г: r₁=Ex+a r₂=Ex - a

лівої: r₁= - Ex + a r₂= - Ex – a.