5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.

1)Для 2 порядку

=|a11 a12|

a21 a22

1 =|b1 a11|

b2 a22

2 =|b1 a11|

b2 a22

Теорема: СЛР2 має єдиний розв’язок, якщо 0. Цей розв’язок визначається за формулами крамера x1=( 1/ ) x2=( 2/ )

Якщо = 1= 2=0 ,то система має безліч розв’язків

Якщо =0 1 0 ( 2 0) - несумісна

Доведення:

x1*(a11*a22-a12*a21)=b1*a22-a12*b2

1

звідси: x1==( 1/ )

2)

= a11 a12 a13

|a21 a22 a23|

a31 a32 a33

b1 a12 a13

1 = | b2 a22 a23|

b3 a32 a33

a11 b1 a13

2= |a21 b2 a23 |

a31 b2 a33

a11 a12 b1

3= | a21 a22 b2 |

a31 a32 b3

Теорема: СЛР3 має єдиний розв’язок, якщо 0. Цей розв’язок визначається за формулою Крамера xj=( j/ ) , j=

Якщо = j =0, j= ,то система має безліч розв’язків, або система = 0

Якщо =0, j 0 , j= ,то система несумісна

6Означення визначника n-го порядку

Озн: Визначником n-го порядку ,що відповідае квадратній матриці А n-го порядку , називається алгебраїчна сумма n! доданків, які є всіма можливими добутками елементів, узятих по одному і тільки по одному зкожного рядка і кожного стовбця, причому доданок береться із знаком , де - кількість інверсій у перестановці других індексів елементів доданка , коли ці елементи розміщені в порядку зростання перших індексів.

* ,де підсумування здійснюється за всіма переставленнями чисел 1,2,…,n

7Властивості визначників n-го порядку

1. Значення визначника не зміниться при його транспортуванні – при заміні рядків відповідними стовбчиками і навпаки.

ДОВЕДЕННЯ

Розглянемо відповідні доданки визначників detA і detA

і

Виписані доданки складаються з однакових множників

Нехай > , тобто є інверсія тоді переставимо місцями та у 2-му добутку, тому виникне інверсія і у другому добутку,і т.д.

Висновок: кількість інверсій у першому добутку дорівнює кількості інверсій у

2-му, доданки мають однакові знаки , отже Визначники РІВНІ!!!

2. При переставленні двох сусідніх рядків(стовбців) змінюється парність переставлення, тобто маємо інверсію.

ДОВЕДЕННЯ:

Нехай треба поміняти місцями і-й і к-й рядок, причому між ними – м рядочків. Якщо переставити к-й рядок на місце і-го, то матимемо (м+1) переставлень; якщо преставимо і-й на к-й , то маємо м переставлень. Всього (2м+1) переставлень. Тому кількість інверсій змінюється на непарне число (2м+1), та це призводить до зміни знаку у кожному доданку. Висновок:при переставленні рядків, визначник змінює знак.

3. Спільний множник всіх елементів деякого рядка(стовбця) можна винести за знак визначника.

ДОВЕДЕННЯ:

Випливає з того , що кожний доданок алгебраїчної сумми містить 1 , і тільки 1, елемент кожного рядка.

4. Якщо увизначника всі елементи деякого рядка є сумами двох доданків, то цей визначник дорівнює суммі двох визначників, що відрізняються від заданого вибраним рядком

ДОВЕДЕННЯ:

Якщо елементи і-го рядка є сумами 2-х доданків, то будь-який додатковий визначник представляється у вигляді * *...* *...* =

= * *...*( )*...* = * *...* *...* +

+ * *...* *...*

Де і-ті доданки є членами розкладу визначника ’ ,а другі- доданка “

5. Визначник =0 , при виконанні 1-ї з наступних умов.

1. Всі елементи деякого рядка(стовбця)=0

2. Всі елементи деякого рядка(стовбця) – пропорційні відповідним елементам іншого рядка(стовбця).

3. Якщо є 2 однакових рядки(стовбці)

Доведення

1)Очевидний

2)всилу 3-го пункту

3)нехай у визначнику D є 2 однакові рядки,переставимо місцями ці рядки D=(- D) D=0

6. Визначник не змінює свого значення, якщо до елементу деякого рядка(стовбця) додати відповідні елементи іншого рядка(стовбця), домноженого на деяке число.

ДОВЕДЕННЯ:

Це наслідок властивостей 3,4,5.

7. Формула Лапласа для визначників n-го порядку:

розклад за j–м стовбцем

розклад за і –м рядком

ДОВЕДЕННЯ:

Згрупуємо всі доданки визначника D , які містять елемент і позначемо це як сумму =

( Отже множення на – не вносить інверсію,тобто не впливає на знак результату. Підсумування ( ) виконується по всіх переставленнях чисел 2,3,...,n . Тобто маємо (n-1)! Доданків)

=

З’ясуєму чому дорівнює сумма доданків у розкладі D, що містить множник . Побудуємо матрицю з матриці a переставленням і-го рядка на 1-ше місце всьго буде переставлень (і-1)+(j-1)=i+j-2

Тоді за властивістю 2 матимемо

загальна кількість доданків в правій частині (n-1)!*n=n!

Одержаний вираз містить n! доданків. Всі доданки- різні і мають ті ж знаки, що і у розкладі detA але у розкладі detA є всього n! доданків, отже detA= ,

8) ,j k ; j,k=

,i k ; i,k=

ДОВЕДЕННЯ:

Поміняэмо елементи і-го рядка зліва і зправа в формулі Лапласа на елементи 1-го рядка. Тоді визначник = 0 =

Узагальнимо властивості 7,8:

-символ Кронекера

=

8Поняття вектора.Лінійні дії над векторами.

Вектор-направлений відрізок AB, де А- початок, B- кінцева точка вектора.

Нуль-вектор( )-вектор у якого початок і кінець збігаються.

Будьякий вектор характеризується напрямком і довжиною(модулем)

Нуль вектор: | |=0,напрям-невизначений.

Колінеарні вектори і , якщо лежать на одній, або паралельних прямих

-колінеарні співнапрямлені

- колінеарні протилежно напрямлені

Вектори і називаються рівними, якщо:

1. | |=| |

Зауваження: рівний , можна одержати з паралельним перенесенням Вектор є вільним відносно точки прикладення.

Лінійні Операції над векторами

1. | |=| |*| |

2. , >0 , <0

3. = =0 i =

Вектор - називається протилежним , якщо - =(-1)

Зауваження: // =

Якщо , то | | 0

, | |=1 тоді =| |*

Властивості добутку вектора на скаляр

1. 1* =

2. ( ) = ( )

Сумою Векторів і називаеться вектор = + ,який визначається за правилом трикутника , або паралелограма.Узагальненим правилом трикутника є правило многокутника.

Різниця: = - це такий вектор, що + =

Властивості суми векторів:

1. комутативність: + = +

2. анеціативність: + + = ( + )+

3. дистренбутивність ( + )= +

* = +

4) + = +(- )=