55) Означення функції. Види відображень.

Відображенням множини Х у множину У називають відповідність яка кожному елем. Множ. Х ставить у відповід. єдиний елемент множини У.

Позначимо ф-ї або відображення:

1)

2)

3)

В цьому випадку кажуть, що ф-я задана явно, тобто з-н відповід. між елементами множин. Формалізований за допомогою матр. формули.

4)

Елементи наз. -незалежна зміна –аргумент-прообраз елемен. у=f(x)при відображенні f.

Елемент у = f(х)=У наз. –знач. функції- залежна зміна – образ елемента х при відображ. f.

Х-область визначення функції

У_f-область значень функції

Розглянемо такі підмножини

Образом множини D при відображенні f наз. Множина f(D)

Позначимо звуження відображення f на множину

Прообразом множ. Е при відображенні f наз. множина

Аналогічно позначається то тоді

Відображення наз. Ін”єктивним, сюр”активним, бієктивним.

Ін”єктивним –якщо різним значенням аргумента відповідають різні значення функції, або якщо для р-ня f(х)=у має не більше ніж один корінь

Відображення назив. сюр”єктивним якщо обл.. з-нь відображень збігається з або якщо р-ня f(x)y=y

Відображення наз. бієктивним відображенням х на у якщо воно ін”єктивне і сур”єктивне одночасно або якщо для будь якого у є У р-ня f(х)=У має єдиний розв’язок.

Графіком відображ.

58. Аксіоми множин дійсних чисел

Означення: підмножиною R дійсних чисел розуміють множину, що складається більше, ніж з одного елемента та задовольняє аксіомам I-V. Елементи цієї множини називаються дійсними числами

1. Аксіоми додавання:

R визначено єдине число, яке називається їх сумою і позначається a+b) R

так, що при цьому виконується:

I_1. a+b = b+a

Ι₂. (a+b)+c = a+(b+c)

I₃. 0 R таке, що а+0=а

Ι_4. а R (-а), яке (-а) R таке, що а+(-а)=0.

а,b R , можна визначити (а- b) R : а- b= а+(- b)

ΙI. Аксіоми множення:

R визначено єдине число, що називається добутком цих чисел і позн. а,b R так , що виконується:

II_1. ab = ba

II₂. (ab)с = a(bс)

II₃. 1 R таке, що а*1=а

II₄. а R, а 0, ( ) R таке , що а* =1

а,b R, b 0, можна ввести операцію ділення

а: b= = а

ΙΙΙ. Аксіома зв’язку операцій додавання і множення а,b,с R

(а+b)с= ас + bс дистрибутивність

4. _{Аксіоми впорядкованості} а,b R, а і b-різні, виконується або а< b. Притому виконується:

ΙV₁. а< b b< с а<с – транзитивність

ΙV₂. а< b, с R а+с< b+с

ΙV₃. а< b с>0 ас< bс

Зауваження:

Впорядкованість а b означає, що (а< b) ( а= b)- виконується ΙV₁ – ΙV₃

Крім того має місце а а – рефлексивність

а b і b а, то а= b – анти симетричність

4. аксіома неперервності: двох не порожніх числових множин X,Y R таких, що x X, y Y x y існує с R таке, що x с y

зауваження: з аксіом ΙV₂ і ΙV₃ випливає властивість цільності множини дійсних чисел: для будь-яких різних а,b R , а< b існує с R таке, що а< с < b

доведення: дійсно а=а, b=b, а<b.

2а< а+b а+b<2b

2а< а+b<2b

а< <b , де = с