52 Зведення кф до канонічного вигляду

Рангом КФ наз. Ранг її матриці А. при зміні змінних х=Су КФ переходить у КФ від нових змінних у₁,у₂,…,у_n . Перетворення змінних х=Су назив. не виродженим, якщо матриця С є не виродженою. Канонічною виглядом КФ назив. представлення її як алгебраїчні сума квадратів f(y)=∑ⁿ_i=1 λ_iy_i², де λ_i≠0, к-ть ненульових доданків = рангу КФ. Нормальним виглядом КФ назив. представлення f(y)=y₁²+ y₂²+...+ y_p²- y_1+p²- y_r² (ця форма одержана з канонічної у_і=1/(| λ_i |)^0.5y_i^/ , λ_i≠0).

Теорема

Для того, щоб симетр.А можна подати у вигляді А= QΛQ^T, де Q – ортогональна, Λ – діагональна, необхідно і достатньо щоб Q складал. З ортонормованих власних векторів А, а Λ мала діагональні елементи відповідні власні значення А.

Теорема

Будь-яку КФ ортогоню перетворень можна звести до канонічного вигляду. Нехай Q – ортогональна матриця, що складена з ортонормованих власних векторів А. Q^T = Q^-1 х= Qу, у= Q^T х. розглянемо КФ х^тАх=х^т QΛQ^Tх=у^т Λу=∑ⁿ_i=1 λ_iy_i².

Теорема (закон інерції КФ)

К-ть доданків з додатніми (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді КФ не залежить від способу зведення КФ до цього вигляду.

Методи зведення КФ до канонічного вигляду

1. метод Лагранжа – виділення повних квадратів

2. застосування ортогонального перетворення

53) Поняття множини. Рівність множин.

Множина- первинне визначення математичного аналізу. Поняття множини вважається первісним і інтуїтивним. Множина задається правилом або ознакою відповідно до якого визнач. Чи належить деякий елемент множ. чи ні.

А={а}, де А складається або з множ. склад. з 1 елемента а малого.

Множину можна задавати за допомогою переліку її елементів А={а ,в, с...}

є А- елемент а належить множині А

- а не належить множині А

Елементи множини А, що мають власн. Р

А₁={а єА (а має вл. Р)}

А₁ ={а: (а є А) (а має вл. Р)}

Часто замість кон’юнкції вектор., множина В наз. підмножиною множини А .

В підмножина А

Позначимо - універсальна множина та будемо розглядати всі інші множини як підмножини універсальної.

Порожньою множиною наз. множина, що не містить жодного елемента.

Множина А і В назив. Рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи

А =В (А В) (В А)

Позначення

Множина натуральних чисел : N= {1,2,3…}

Z₀- множина не „-” цілих чисел

Z₀- {0,1,2,3…}

Z- {0, 1, 2…}

Q= { }

Q- раціональні

С- комплексні

На множину натуральних чисел вводиться операція „+”і виконуються такі влас. (аксіоми):

• якщо n є N ( n +1) є N

• 1 є М (деяка множина), (n є М ( n +1) є М ) N М- аксіома індукції

54) Операції над множинами.

Перерізом множин А і В наз. Множина, що складається із спільних елементів множин А і В

Для ілюстрації операції викор. круги Ейлера або діаграми Вєна.

Об’єднана множина А і В, наз. множина яка містить тільки ті елементи, які належать А або належать В

Різницею множини А і В наз. множина, яка містить тільки ті елементи, що належать А і не належать В .

Доповненням множ. А наз. множ. , яка містить тільки ті елементи, що не належать А.

Поняття перерізу і об’єднання множин можна поширити на декілька множин

Властивості операцій над множинами:

1) - ця властивість означає, що відносно операц. Перерізу та об’єднання є замкненою.

2) - комутативність

3) - асоціативність

4)

5)

6) )

7)

8)

9)

правило де Моргана

Порядкованою парою елементів а є А, в є В, наз. послідовність (а, в), якщо чітко вказано номер компоненти.Декартовим добутком множ. А і В наз. множина всіх впорядкованих пар елементів множин А і В.