49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.

Означення::

Ортогональною матрицею називають таку квадратну матрицю А, при А^-1=А^Т;

Тобто в силу невиродженості А, та єдності А^-1 маємо А^-1*А=Е => А^-1=А^Т.

Крім того :: А^-1*А= Е => АА^Т=Е

Властивості::

1.Матриця є ортогональною тоді, і тільки тоді, коли її стовпці(рядки) утворюють ортонормовану систему векторів.

Доведення. Теорема1 є наслідком рівності АА^Т=Е для рядків, А^ТА=Е для стовпців.

2.Добуток двох ортогональних матриць є ортогональним. Модуль визначника ортогональної матриці =1.

Або :: визначник ортогональної матриці = ±1

------------------------------------

Означення:: Якщо всі вектори а₁, а₂,…, а_n ортогональної системи є одиничними, то ця система векторів називається ортонормованою.

Система одиничних векторів

1 0 0

e₁=0 , e₂=1 , e_m=0 , - є ортонормованою, оскільки

… … …

0 0 1

|e_i|=1,(e_i,e_j)=0 (i,j=1,2,…,m; i≠j).

Довжину |a| вектора а можна подати через скалярний добуток::

|a|²=(a,a)=a₁²+a₂²+…+a_m².

Якщо два вектори а та b взаємно ортогональні, то

|a+b|²=|a|²+|b|²

Ця рівність називається теоремою Піфагора.

Отже, |a+b|²=(а+b, a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b)=|a|²+|b|²

50.Ортогональні перетворення.

1.Ортогональне перетворення – лінійне перетворення евклідового векторного простору, що зберігає незмінними довжини або (що еквівалентне цьому) скалярний добуток векторів.

2.Ортогональне перетворення – це лінійне перетворення, яке зберігає скалярний квадрат всякого вектора а :: (аφ, аφ) = (а, а);

Приклади перетворень ::

1.Перетворення обертання в площині х₁, х₂ на кут φ проти годинникової стрілки.

х₁¹

х₁

е₁=(1,0); е₂=(0,1)

е₁¹ =Те₁=cosφ е₁ + sinφ е₂

е₂¹ = Те₂ =cos(φ+π/2) е₁ +sin(φ+π/2) е₂ =-sinφ е₂ + cosφ₂

T= ( cosφ -sinφ )

sinφ -cosφ

Перетворення обертання в R_n визначається матрицею обертання T_ij (φ), яка відрізняється від одиничної матриці лише двома елементами, розміщених на перетині рядків і стовпців з номерами i та j.

51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.

К Ф від змінних х₁,х₂,…х_n назив. многочлен відносно цих змінних, який вміщує тільки їх 2 степені f(х₁,х₂,…х_n)=∑ⁿ_i=1∑ⁿ_j=1 a_ijx_ix_j=x^TAx, де х=(х₁,х₂,…х_n)^т, А=а_іj, і,j=1, n – матричні коефіцієнти КФ, при чому А – симетрична матриця (а_іj= а_jі). Нехай КФ містить доданки a_ijx_ix_j, a_jіx_jх_і, a_ij≠a_jі, тоді введемо нові коефіцієнти a_ij^/=a_jі=(a_ij^/+a_jі^/)/2. Одержимо новий доданок 2a_ij^/x_ix_j. Отже матрицю А можна зробити симетричною. КФ(матриця) назив. додатно(невід’ємно, від’ємно, недодатньо) визначеною, якщо для будь-якого х≠0 виконується х^тАх>0 (х^тАх≥0, х^тАх<0, х^тАх≤0). Очевидно, що від’эмно (недодат.) визначені КФ отримується з додатньо (невід’ємно) визначених зміною знаку.

Теорема (осн.ознаки додат.визначеності КФ або матриці)

Для того, щоб симетрична матриця була дод.визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з умов:

1. всі власні значення А – додатні(λ_і>0);

2. всі провідні мінори матриці А додатні (∆_і>0);ї

3. всі провідні елементи (без переставлення рядків) А – додатні(d_і>0);

4. існує не вироджена матриця W, така що А= W^т W.

Зауваження:

1. ознаки невід’ємної визначеності відрізняються від сформульованих лише заміною знаку > на ≥ ;

2. провідними мінорами А назив. такі мінори: ∆₁=а₁₁, ∆₂=^{|a11 a12|}_{|a21 a22|}, ∆_n=detA. Умова 2 це формулювання критерію Сильвестра для додатної визначеності А. Критерій Сильвестра для від’ємної визначеності А: х^тАх<0 <=> коли знаки провідних мінорів чергуються, починаючи з від’ємного ∆₁<0, ∆₂>0, ∆₃<0…

3. за допомогою елементарних перетворень симетричн. А можна представити у вигляді А=LDU, де L, відповідно нижня і верхня трикутні матриці з одиничною діагоналлю (ці матриці є добутками елементів матриць), D – діагональна матриця на діагоналі якої стоять провідні елементи;

4. матрицю W можна побудувати способами:

1. W=Λ^0.5Q^T, де Λ –діагональна матриця, елементи якої – власні значення (λ₁ λ₂ λ_n). Λ^0.5=diagon(λ₁^0.5, λ₂^0.5,…, λ_n^0.5). Q – матриця складена з ортонормованих власних векторів А, що відпов..власним значенням (Q – ортогональна матриця); 2. W=QΛ^0.5Q^T. в даному випадку W=А^0.5;

3. W= diagon(d₁^0.5, d₂^0.5,…, d_n^0.5)U, де U – множник розкладу А, (А= LDU), при чому U^т= L – для симетричних матриць.