42.Ранг матриці.

Нехай є матр. А mxn . Будемо розглядати рядки матр. як n-вимірні вектори простору Rn, а стовпці – як m-вимірні вектори простору Rm. Можна вивчати лінійну залежність і незал. рядків або стовпців матр. А.

Мінором і-го порядку матр. А назив. визначник і-го порядку з елементами, розміщеними на перетині будь-яких і-рядків та і-стовпців матр. А.

Рангом матр. А наз. максимальний порядок відмінних від нуля мінорів матриці і позн. r(A) або rang(A); r(θ) = 0; 0≤r(A)≤min{m,n}

Будь-який мінор, що≠0 порядку r(A) назив. базисном мінором, а стовпці і рядки, в яких він розміщ., назив. базисними.

Теорема:Базисні стовпці(рядки) матриці лінійно незалежні та будь-який стовпець(рядок) є лін. комбінацією базисних стовпців(рядків).

Висновок1:вимірність підпростору, породженого деякою сист. векторів = рангу матриці, складеної з коорд. цих векторів відносно деякого базису.

Висн.2: Максим. к-сть лін. незалежних стовпців(рядків) матриці = рангу матриці

Теорема: Для того, щоб визначник матр. А порядку n=0, необх. і достатньо, щоб його стовпці(рядки) були ліню залежними.

Для знах. рангу матриці зручно звести її елементарн. перетвор. з рядками до так званої ступінчастої матриці. Ця матриця має таку будову: 1)ненульові рядки розм. вище нульових,2)кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елем. в своєму рядку(рахуючи зліва направо)=1, 3)кожний провідн. елемент розміщ. праворуч від провідного елем. попереднього рядка. G-ступінчаста матриця. G=LA, L-добуток елементарних матриць. r(G)= r(LA)= r(A)

Теорема: Для mxn матр. А рангу r існують такі невироджені матриці L і M порядків m і nвідповідно, що LAM=

Теорема: Ранг добутку двох матриць не перевищує рангу кожного з множників r(АВ)≤r(A); r(АВ)≤r(В). Д-ня: розглянемо блокову матрицю (АВ А) : r(АВ)≤r(AВ А)≤r(А), де АВ-лін. комбінація стовпців матр. А.

Наслідок: множення матриці на невиродж. матр. не змінює її ранг. Д-ня:

r(А)=r(AВВ^-1)≤r(АВ)≤r(A) => r(А)=r(AВ), В-невиродж.

44 Неоднорідні системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі

Розглянемо неоднорідну СЛР Ах=b, b≠0.

Теорема Кронекера-Капеллі

Для того, щоб НСЛР була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи= рангу розширеної матриці системи. Тобто r(A)=r(A_b), де A_b-розширена матриця системи. Доведення

r(A)=r(A_b) <=> b – лінійна комбінація стовбців А, тобто коефіцієнт цієї лінійної комбінації і є розв. с-ми .

Теорема (про структуру заг. розв. НСЛР)

Загальний розв’язок НСЛР=сумі загального розв’язку ОСЛР та окремого розв’язку НСЛР.

Доведення

Х – загальний розв’язок ОСЛР, f₀ - розв’язок НСЛР. (х+ f₀) – загальний розв’язок НСЛР. А(х+ f₀)=Ах+А f₀=0+b= b. х+ f₀ - розв’язок НСЛР, що і треба було довести