7. Примеры решения различных задач

1. Пусть x, y, z – неотрицательные действительные числа такие, что x + y + z = 1. Докажите, что

Решение:

1. Формализация:

По теореме Вейерштрасса решение задачи существует и на максимум, и на минимум. Допустим, что некоторое решение ( ) таково, что все эти числа отличны от нуля. Но тогда это же решение будет доставлять локальный экстремум задаче и к ней можно применять правило множителей Лагранжа.

2. Необходимое условие (для функции Лагранжа ):

Ясно, что не может равняться нулю (иначе ). Далее .

3. Нахождение стационарных точек. Вычитая из уравнения (i) уравнение (ii) (с ), получаем

Аналогично y = z или x = 1/2, и x = z или y = 1/2.

4. Исследование. Если одно из чисел, скажем z , равно 1/2 , то Если же ни одно из чисел не равно ½, то имеется единственная стационарная точка и . Наконец, если решение имеет нулевую компоненту, скажем, , то , минимум, равный нулю, достигается, скажем, при

2. Вершины тетраэдра KLMN лежат внутри, на гранях или на ребрах другого тетраэдра ABCD. Докажите, что сумма длин всех ребер тетраэдра KLMN меньше, чем 4/3 суммы длин всех ребер тетраэдра ABCD.

Тетраэдр ABCD – это выпуклое замкнутое ограниченное множество. Обозначим его буквой Х. В принципе, Х можно задать системой из четырех неравенств: Х= ( – скалярное произведение x и y).

Наша задача формализуется так:

Здесь - это точки в трехмерном пространстве, а |x - y| - расстояние в нем от x до y.

Функция f – непрерывная функция переменных. Тетраэдр Х – замкнутое ограниченное множество, задаваемое четырьмя неравенствами. По теореме Вейерштраса решение задачи существует. Пусть оно есть ( ). Из строгой выпуклости f сразу вытекает, что точки необходимо должны совпадать с вершинами Х. Действительно, если, скажем, - не вершина, то существует такой отрезок [y, z], где y и z – точки из Х и . Но тогда по свойству строго выпуклой функции

Но отсюда следует, что в одной из точек ( ) или ( ) функция f имеет большее значение, чем в . Получилось противоречие.

А теперь остается лишь несложный перебор. Обозначим через P_KLMN периметр тетраэдра KLMN, а через P_ABCD – периметр тетраэдра ABCD.

Если все точки K, L, M и N различны, то тетраэдр KLMN совпадает с ABCD, и все ясно, ибо

P_KLMN = P_ABCD < 4/3 P_ABCD.

Пусть не более двух вершин тетраэдра P_KLMN совпадают, скажем, K = L = A. Тогда имеются две возможности:

1. Две другие вершины тоже совпадают, скажем, M = N = B, и тогда из неравенства треугольника P_KLMN = 4|AB| = 4/3·3 |AB| < 4/3[|AB| + (|AC| + |CB|) + (|AD| + |DB|)] < 4/3 P_ABCD;

2. Вершины M и N различны, скажем, M = B, N = C; тогда из неравенств треугольника следует:

|AB| < |AD| + |DB|, |AC| < |AD| + |DC|,

|AD| < 1/3[|AD| + (|AC| + |CD|) + (|AB| + |BD|)] <

< 1/3 P_ABCD⇒ P_KLMN = 2|AB| + 2|AC| + |BC| <

<|AB| + |AD| + |DB| + |AC| + |AD| + |DC| + |BC| =

= P_ABCD + |AD| < 4/3 P_ABCD.

Если же три вершины совпадают, скажем, K = L = M = A, N = B, то из неравенства пункта (1) получаем P_KLMN = 3|AB| < 4|AB| < 4/3 P_ABCD. Задача решена.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутом треугольнике 0(0; 0), А(5; 0), В(0; 5) (рис. 7.1)

откуда z(1; 3) = -7,

(1). z(x, 0) = x² + x,

(3).

Следовательно,

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

Решение.

откуда z(0, 0) = 0.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение на границе круга, запишем ее уравнение в параметрической форме:

тогда

откуда наибольшее значение на границе получим при k = 0; 2, причем

а наименьшее – при k = 1; 3, причем inf z = Они же будут наибольшим и наименьшим значениями и в круге.