Глава 2

3. Максимумы и минимумы в природе(в оптике)

По Лейбницу наш мир является наилучшим из всех возможных миров, и потому его законы можно описать экстремальными принципами.

К. Зигель

Экстремальный принцип, касающийся явлений природы, был впервые четко сформулирован в оптике при попытке теоретического осмысления законов преломления света. Разнообразным оптическим проблемам, в частности истории закона о преломлении света, посвящена книга Тарасова и Тарасовой.[]

Если опустить шест в неподвижную гладь прозрачного озера, он покажется нам как бы изломанным. Это происходит из-за преломления света.

Е ще древние ученые старались найти закон преломления. А именно, Птолемей пытался найти этот закон опытным путем. Но он не нашел правильного ответа.

Пусть два луча (идущие «сверху вниз») преломляются в точке О (рис. 3.1). Углы , образованные прямыми с вертикалью ОС, называются углами падения. Углы , образованные прямыми с вертикалью OD, называются углами преломления. Снеллиус установил, что

т.е. что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная, не зависящая от угла падения.

Другое объяснение закона преломления, исходя из в точности противоположной посылки (в более плотной среде свет распространяется медленнее), дал Ферма.

Для объяснения закона преломления света Ферма и выдвинул экстремальный принцип для оптических явлений. Впоследствии он был назван его именем. Принцип Ферма гласит: в неоднородной среде свет избирает такую траекторию, вдоль которой время, затрачиваемое им на преодоление пути от одной точки до другой, минимально.

Принцип Ферма позволяет точно поставить и решить задачу на минимум, приводящую к выводу закона Снеллиуса. Итак, Ферма вывел закон Снеллиуса из своего экстремального принципа, но его решение было весьма сложным. Гораздо более простое решение, основывающееся на принципе Ферма дал Гюйгенс.

Задача:

Даны две точки А и В по разные стороны от горизонтальной прямой l, разделяющей две среды. Требуется найти такую точку D, чтобы время преодоления пути ADB было минимальным при условии, что скорость распространения света в верхней среде υ₁, а в нижней – υ₂ (рис. 3.2)

Решение Гюйгенса.

Пусть точка D такова, что в ней выполнено соотношение (обозначит его (2)):

Покажем, что для любой другой точки D’ ≠ D время, затраченное на преодоление пути AD’B, будет больше времени, затраченного на путь ADB. Для этого восставим перпендикуляры в точках A и D к прямой AD. Точку пересечения с AD’ перпендикуляра, проведенного из точки D, обозначим через P. Проведем прямую, параллельную AD, через точку D’, и точку пересечения этой прямой и перпендикуляра DP обозначим P’, а точку пресечения ее с перпендикуляром, проведенным из А, - через R. Наконец, опустим перпендикуляр D’Q из D’ на DB. Из рис. 3.2 видно, что величина угла PDD’ равна α₁, а величина угла D’DQ равна . Следовательно (обозначим это выражение (3)):

Теперь проведем сравнение времен прохождения ломаных ADB и AD’B.

Вследствие того, что (наклонные больше перпендикуляров), а также из (3) получаем:

Складывая эти неравенства, получаем с учетом (2):

Итак, точка, преломляясь в которой, свет потратит наименьшее время на прохождение пути от А до В, характеризуется тем, что отношение угла падения к углу преломления равно т.е. потоянному числу. Но именно в этом и состоит закон Снеллиуса.