Исходные данные

Таблица 4.3

Матрица коэффициентов СЛАУ № 2 (методы Якоби и Гаусса - Зейделя)					Вектор свободных членов уравнений
A =	5 + m	1	- 2		b =	1 0
	1	6 + m	-1			12
	4	6	7 + m			15 + m
m = 0,2 N					 = 0,01

Вопросы для самопроверки:

- СЛАУ. Скалярная и матричная формы записи.

- Совместная, несовместная и определенная СЛАУ.

- Условие разрешимости СЛАУ.

- Критерий плохой обусловленности СЛАУ, геометрическая интерпретация.

- Точные методы решения СЛАУ.

- Метод Гаусса. Метод прогонки.

- Итерационные методы решения СЛАУ.

- Метод Якоби (простой итерации).

- Метод Гаусса - Зейделя

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений с n неизвестными.

a ₁₁ x ₁ + a₁₂ x ₂ + a₁₃ x ₃ + ... + a_1n x _n = b ₁

a₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a₂₃ x ₃ + ... + a_2n x _n = b ₂ (4.1)

........................

a_n1 x ₁ + a_n2 x ₂ + a_n3 x ₃ + ... + a_nn x _n = b _n

где x _i – неизвестные, подлежащие определению, a_ij – коэффициенты при неизвестных; b _i - числа, называемые свободными членами (правыми частями) системы уравнений.

Форма записи системы (4.1) - скалярная

Совокупность чисел x ₁ = λ₁, x ₂ = λ₂, ..., x _n = λ _n, удовлетворяющих (4.1) называется решением СЛАУ.

Матричная форма записи системы (4.1) имеет вид

А = ; x = ; b = ; (4.2)

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; в противном случае она называется несовместной.

СЛАУ называется определенной, если это решение - единственное.

Если СЛАУ не имеет ни одного решения, то такая система является неопределенной.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать:

• совместна ли данная СЛАУ;

• если совместна, то установить число решений;

• указать способ отыскания этих решений.

Некоторые обозначения:

А^Т – матрица, транспонированная к матрице А, т.е. a _ij = a _ji.

А^-1 – матрица, обратная к матрице А, т.е. А^-1 · А = I,

где I - единичная матрица.

При решении СЛАУ возникают проблемы, связанные с вопросами:

1. разрешима ли данная СЛАУ;

2. каким методом ее решать;

3. какова чувствительность решения к ошибкам округления исходных данных.

Рассмотрим эти вопросы подробнее.

1) Теорема (из курса высшей алгебры)

Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет решение, причем единственное.

(Это условие необходимое, но не достаточное.)

2) К выбору методов решения необходимо подходить рационально: например, метод Крамера требует около n²n! операций умножения и деления.

Т.е. для системы с 20 уравнениями и 20 неизвестными это число составляет 10²¹. Для современных ЭВМ, выполняющих миллионы операций в сек., для решения такой системы потребуется около 10¹⁵ сек. или 3∙10⁶ лет.

Следовательно, для систем высокого порядка требуются методы, приводящие к меньшему числу операций.