§4. Численный эксперимент. Опасные явления в нелинейных системах.

1. Методы исследования динамики линейных систем автоматического управления с постоянными коэффициентами разработаны исключительно полно. Для нелинейных систем положение несравненно хуже. Даже в простейшем случае, когда нелинейная система состоит из одного нелинейного статического и одного линейного блоков, могут возникать очень сложные проблемы. Поэтому мы проиллюстрируем эти явления численным экспериментом на ПК с помощью программ пакета TAY3 (в ряде случаев расчет дублировался на MathCAD11).

Цель данного приложения показать, к каким опасным динамическим процессам может привести столь не сложный нелинейный эффект, как ограничение величины сигнала в линии передачи системы.

Пусть структурная схема имеет вид, показанный на рисунке 1:

Рис. 1

Выясним путем численного эксперимента, что в структурной схеме на рисунке 1, состоящей из НЭ «насыщение» и линейного блока с передаточной функцией W(p), возможны, при определенных условиях, возникновение автоколебаний и, что гораздо хуже, возникновение практически расходящихся процессов. (Мы не имеем возможности утверждать, что возникает расходящийся процесс, и пишем только о практически расходящемся процессе, так как речь идет о численном эксперименте).

2. Эксперимент проводится следующим образом.

Выбираем определенным способом величину коэффициента усиления линейного блока К. Величину К выбираем такой, чтобы линейная система, получаемая из исходной нелинейной (рис. 1), когда нет ограничения в блоке N (рис. 2), была устойчивой.

Рис. 2

Подаем на вход нелинейной системы (рис. 1) прямоугольный импульс, показанный на рисунке 3, и наблюдаем поведение сигнала х(t) на выходе системы.

Рис. 3

3. Перейдем к вопросу о выборе коэффициента усиления К в линейной системе, показанной на рисунке 1.

Передаточная функция W(p) выбрана таким образом, что линейная система на рисунке 1 обладает свойством условной устойчивости по Бодэ.

Коротко говоря, эти системы можно охарактеризовать следующим свойством:

существует такое значение К=К₁, что система устойчива при К>К₁ и неустойчива при К<К₁, т.е. интервалу устойчивости предшествует интервал неустойчивости.

Возможны различные варианты расположения интервалов устойчивости и неустойчивости замкнутой линейной системы, условно показанные расположением траектории одного из корней характеристического уравнения в таблице 2.

В таблице 1 приведены аналитические выражения некоторых передаточных функций W(p) разомкнутых систем для условно устойчивых по Боде замкнутых систем.

Таблица 1 (передаточных функций разомкнутых систем для условно устойчивых по Боде замкнутых систем).

Передаточные функции W(p).

1 a	1 b
2 а	2 b
3 а	3 b
4 а	4 b
5 а	5b

Таблица 2.

Варианты траекторий корней условно устойчивых систем.

Выбираем значение К из условий устойчивости замкнутой системы (рис. 2). Это значение должно находится внутри интервала устойчивости:

Где величина К* зависит от ряда конкретных причин, на которых не будем останавливаться, но существенно, что она близка к границе устойчивости.

Почему решили выбирать К именно таким образом, чтобы обнаружить влияние ограничения сигнала на динамику системы? Дело в том, что в ряде математических работ уже давно указывалось на то, что участок слева от границы устойчивости наиболее опасный.

Пример 1.

Рассмотрим случай, показанный в таблице 2 на рисунке 1а.

Рис. 4

Значимая часть корневого годографа.

На вход системы (рис.1) подается импульс, показанный на рисунке 3, высота которого h=10, а ширина T=1. При К 140 на выходе системы получаем автоколебания, к примеру, на рис.5 показаны автоколебания при К=139:

Рис. 5 Процесс регулирования.

При дальнейшем увеличении коэффициента усиления автоколебания исчезают. Например, при К > 140 на выходе системы получаем сходящийся процесс (рис. 6):

Рис. 6

Процесс регулирования.

Пример 2.

Рассмотрим случай, показанный в таблице 2 на рисунке 3b.

В этом примере рассмотрим самое опасное явление, к которому может приводить простейший нелинейный элемент насыщения – возникновение практически расходящихся колебаний.

Рис. 7

Значимая часть корневого годографа.

Положим К=4 и подадим на вход замкнутой системы импульс, показанный на рисунке 3, высота которого h=6, а ширина T=1. Как видно на рис. 8, в системе имеет место расходящийся процесс:

Рис. 8

Процесс регулирования.

При дальнейшем увеличении величины К, мы получим сходящийся процесс. На рисунке 9 показан сходящийся процесс при К=10,2.

Рис. 9

Процесс регулирования.

Вывод.

На основе проведенного численного эксперимента можно сделать заключение, что даже такой простой нелинейный элемент, как ограничение модуля сигнала, может приводить к возникновению весьма опасных динамических процессов: возникновение автоколебаний с большой амплитудой или, что самое опасное, возникновение практически расходящегося процесса. Эти факты указывают на то, что ни в коем случае при составлении математической модели систем автоматического управления не следует бездумно пренебрегать нелинейными явлениями.

В заключение, рекомендуем читателю ознакомиться с книгой Б. Хэссарда, Н. Казаринова и И. Вэна, «Теория и приложения бифуркации рождения цикла», Москва «Мир» 1985, стр. 102, пример «Центробежный регулятор».

121